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■目次
大問１
大問２
大問３
大問４
大問５
■大問１
問題１-１： (-6xy³) ÷ (3/2 x²y) × (-5x)² を計算しなさい。
解答 ： -100xy²
解説 ： (-6xy³) ÷ (3/2 x²y) × (-5x)² = -6xy³ × 2/(3x²y) × 25x² = -100xy²
分数のわり算は分母分子を入れかえてかけ算にする。
問題１-２： x = √2 + 1, y = √2 – 1 のとき、xy-x-y+1 の値を求めなさい。
解答 ： 2-2√２
解説 ：x = √2 + 1, y = √2 – 1
xy = (√2 + 1)(√2 – 1) = 2 – 1 = 1
xy – x – y + 1 = 1 – (√2 + 1) – (√2 – 1) + 1 = 2 – 2√2
問題１-３： 2次方程式 5(x-1)²+3(x-1)-1=0 を解きなさい。
解答 ：x=7±√29/10
解説 ：5(x – 1)² + 3(x – 1) – 1 = 0
5(x² – 2x + 1) + 3x – 3 – 1 = 0
5x² – 10x + 5 + 3x – 4 = 0
5x² – 7x + 1 = 0
x = (-(-7) ± √((-7)² – 4 × 5 × 1)) / (2 × 5) = (7 ± √(49 – 20)) / 10 = (7 ± √29) / 10
問題１-４： 下の表は、あるクラスの生徒20人が、2学期に借りた本の冊数を度数分布表に表したものです。この表から読みとることができる内容として正しいものを、次のア～エの中から一つ選び、その記号を書きなさい。
ア 中央値は8冊以上12冊未満の階級にある。
イ 8冊以上12冊未満の階級の相対度数は4である。
ウ 最頻値は8である。
エ 12冊以上16冊未満の階級の累積相対度数は0.85である。
解答 ： エ
解説 ：ア: 全データが20人なので、中央値は、小さい方から10番目と11番目の平均となり中央値は12冊以上16冊未満の階級にある
イ: 相対度数は「その階級の度数」÷「全ての階級の度数の合計」で求めることができる。 4 ÷ 20 = 0.2
ウ: 最頻値とは、度数が最も大きい階級の階級値のこと。最も大きい度数は12冊以上16冊未満の階級なので、最頻値=12+16/2=14
エ: 累積相対度数は、「その階級の累積度数」÷「全ての階級の度数の合計」で求めることができる。累積相対度数は (2 + 3 + 4 + 8) / 20 = 17 / 20 = 0.85
下の図のように、直線l上に1辺が8cmの正三角形を底辺が4cmずつ重なるようにかいていきます。正三角形をx個かいたとき、かげ（▲）をつけた重なる部分と重ならない部分の面積の比が2：5になりました。このとき、xの値を求めなさい。
解答 ： x=9
解説 ：重なる部分と重ならない部分の面積の比は、▲の個数と△の個数の比と等しい。
(例)・大きい三角形が2このとき、▲=1こ、△=6こ。
・大きい三角形が3このとき、▲=2こ、△=8こ。
大きい三角形がxこのときは、▲は大きい三角形を1つ増やすごとに1こずつ増えるので、▲=x – 1こ、
△は左端の1こと右端の3こは同じで、▲×2の数ずつ増えるので、△= 2(x – 1) + 4 = 2x + 2こ,
(x – 1) : (2x + 2) = 2 : 5
5(x – 1) = 2(2x + 2)
5x – 5 = 4x + 4
x = 9
問題１-６： 下の図のような平行四辺形ABCDがあり、辺AD, CDの中点をそれぞれE, Fとします。線分ACと線分BEとの交点をGとするとき、△ABGの面積は△DEFの面積の何倍になるか求めなさい。
解答 ： 4/3(倍)
解説 ： △DEFの面積をSとすると、AE=EDより、
△ABEは底辺が△DEFと等しく高さが△DEFの2倍なので△ABEの面積は2Sと表すことができる。
△GAE ∽ △GCBより、GE : GB = AE : CB = 1 : 2。
△ABGと△ABEは高さが共通なので、
△ABG : △ABE = GB : BE = 2 : 3であり、
△ABG = (2/3) × 2S = (4/3)S
問題１-７： 下の図のように、関数y = ax²のグラフと、傾きが1/2である一次関数のグラフが、2点A, Bで交わっています。点Aのx座標が-2, 点Bのx座標が4であるとき、この一次関数の式を求めなさい。
解答 ： y=1/2x+2
解説 ： 点A、Bをy=ax²にそれぞれ代入すると、
点Aのy座標：y=a×(-2)²=4a,点Bのy座標：y=a×4²=16a となる。
直線ABの傾きは1/2なので、yの増加量/xの増加量=1/2
16a-4a/4-(-2)=1/2
a=1/4
よって点Aのy座標は、4a=4×1/4=1
求める直線の式は y=1/2x+b
1=1/2×-2+b
b=2
よって、求める直線の式はy=1/2x+2
問題１-８： 下の図のような、AB = AC = 2cm, ∠BAC = 90°の△ABCがあり、頂点Cを通り、辺BCに垂直な直線lをひきます。このとき、△ABCを、直線lを軸として1回転させてできる立体の体積を求めなさい。
解答 ：4√2π(cm³)
解説 ： △ABCを直線lを軸として1回転させたとき辺ABの延長線と直線lとの交点をDとする。求める図の体積は、(円錐DBB’の体積)-(円錐DAA’×2) で求めることができる。
△BCDはBC=CD,∠BCD=90°の直角二等辺三角形であるため、
BC=CD=√2AB=2√2(cm)
また、△ACDはAC=AD,∠BCD=90°の直角二等辺三角形であるため、AE=CE=DE=AC/√2=√2(cm)
円錐DBB’の体積=π×(2√2)²×2√2×1/3=16√2π/3(cm³)
円錐DAA’の体積×2=π×(√2)²×√2×1/3×2=4√2π/3(cm³)
よって、求める体積は16√2π/3-4√2π/3=4√2π(cm³)
問題１-９： 下の図のように、円周の長さを10等分する点A～Jがあります。線分AEと線分BHとの交点をKとするとき、∠AKHの大きさxを求めなさい。
解答 ：108(度）
解説 ：中心Oをとると、中心角∠AOB = 360° × 1/10 = 36°
弧EHは弧ABの3倍なので、中心角∠EOH = 36° × 3 = 108°
∠AHK = 1/2 ∠AOB = 1/2 × 36° = 18°
∠KEH = 1/2 ∠EOH = 1/2 × 108° = 54°
△AHKより、∠x = 180° – (∠KEH + ∠AHK) = 180° – (54° + 18°) = 108°
問題１-１０： 次は、先生とSさん、Tさんの会話です。これを読んで、下の問に答えなさい。
先生「わたしたちの中学校では、校庭にある桜の開花日を生徒会の役員が毎年記録しています。次の図は、1961年から2020年までの記録を、3月15日を基準日としてその何日後に開花したかを、期間①から期間④の15年ごとの期間に分け、箱ひげ図にそれぞれ表したものです。これを見て、気づいたことを話し合ってみましょう。」
Sさん「4つの箱ひげ図を見ると、桜の開花日は60年間でだんだん早くなっているようだね。」
Tさん「だけど、期間①と期間②の箱ひげ図は、最も早い開花日と最も遅い開花日が同じ位置だよ。それでも、開花日は早くなっているといえるのかな。」
Sさん「期間①と期間②の箱ひげ図を比べると、[ I ] から、期間①より期間②の方が、開花日は早くなっているといえると思うよ。」
問 会話中の[ I ]にあてはまる、開花日が早くなっていると考えられる理由を、第1四分位数, 第3四分位数という二つの語を使って説明しなさい。
解答 ：(説明)(例)期間①より期間②の方が、第1四分位数、第3四分位数ともに基準日に近い
解説 ：箱ひげ図より、第1四分位数は全体の25%、第二四分位数は全体の50%、第3四分位数は全体の75%の位置を示す。期間①では、15年のうち7～8年程度は基準日の22～26日後に開花し、期間②では18～22日後に開花していたと分かる。
■大問２
問題２-１： 下の図のように、∠ABC = 90°となる3点A, B, Cがあります。このとき、線分ACが対角線となり、AB // PC, AB:PC = 2:3であるような台形ABCPの頂点Pをコンパスと定規を使って作図しなさい。
ただし、作図するためにかいた線は、消さないでおきなさい。
解答 ：
解説 ：
手順1：点Cを中心に円弧を描く。(直線BCとの交点をD,Eとする。)
手順2：2点D,Eを中心に円弧を描く。(交点をFとする。)
手順3：2点C,Fを通る直線を描く。
手順4：点Cを中心に線分ABを半径とする円弧を描く。(直線CFとの交点をGとする。)
手順5：点Gを中心に線分ABを半径とする円弧を描く。(直線CFとの交点をHとする。)
手順6：2点G,Hを中心に円弧を描く。(交点をI,Jとする。)
手順7：2点I,Jを通る直線を描く。手順3と手順7の直線の交点が求める点P。
問題２-２： 下の図のように、直角三角形ABCの辺ABを1辺とする正方形ADEBと、辺ACを1辺とする正方形ACFGがあります。線分GBと、辺AC, 線分CDとの交点をそれぞれH, Iとするとき、∠CIH = 90°であることを証明しなさい。
解答 ：(説明)(例)△ACDと△AGB において 仮定から、AC=AG …① AD=AB …② ∠CAD=∠CAB+∠BAD =∠CAB+90° ∠GAB=∠GAC+∠CAB =90°+∠CAB から ∠CAD=∠GAB …③
①.②.③から、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、△ACD≡△AGB…④
△AGHと△ICH において ④から、∠AGH=∠ICH…⑤ GHA=CHI … ⑥
⑤.⑥から、2組の角がそれぞれ等しいので、△AGH∽△ICH
したがって、∠GAH=∠CIH=90°
解説 ：証明と同様。
■大問３
問題３-１： 次は、ある数学の【問題】について、先生とFさん、Gさんが会話している場面です。これを読んで、あとの各問に答えなさい。
先生「次の【問題】について、考えてみましょう。」
【問題】
下の図のように、x軸上を点Pが原点Oから点A(5, 0)まで動きます。点Pのx座標をt (0 ≦ t ≦ 5)として、点Pを通りy軸に平行な直線をlとしたとき、直線lと直線y = xとの交点をQ、直線lと放物線y = 1/3 x²との交点をRとします。PQ:RQ = 4:1となるときの点Pのx座標をすべて求めなさい。
Fさん「線分PQと線分RQの長さの比ではなく、線分PQと線分PRの長さの比を考えればわかりやすいかな。」
Gさん「そうだね。点Qと点Rのx座標はそれぞれtなので、点Qのy座標は[ ア ]、点Rのy座標は[ イ ]になるよ。これで、線分PQの長さと線分PRの長さをそれぞれtで表すことができるね。」
Fさん「そうすると、t = 0, 3の場合は線分RQの長さが0だから、除いて考える必要があるね。0 < t < 3の場合、PQ:RQ = 4:1という条件にあてはまるのは、PQ:PR = 4:3かな。」
Gさん「そうだね。でも3 < t ≦ 5の場合は、PQ:PR = 4:3だと、その条件にあてはまらないよ。」
Fさん「なるほど。すると3 < t ≦ 5の場合も、線分PQと線分PRの長さの比を正しく表すことができれば、【問題】は解けそうだね。」
先生「そのとおりです。それでは、【問題】を解いてみましょう。」
(1) [ ア ], [ イ ] にあてはまる式を、tを使って表しなさい。
解答 ：ア t, イ 1/3 t²
解説 ：点Qは直線y = x上なので x = t を代入
点Rは曲線y = 1/3 x² 上なので x = t を代入
問題３-２： 下線部の理由を、点Qと点Rのy座標にふれながら説明しなさい。
解答 ：(説明)(例) 点Rのy座標が、点Qのy座標より大きくなるから。
解説 ：点Rは曲線y = 1/3 x² 上なので x = t を代入 大きくなるから。
つまり、線分PQより線分PRの方が長くなる。
PQ : RQ = 4 : 1 のとき、PQ : PR = 4 : 5 となる。
問題３-３： PQ:RQ = 4:1となるときの点Pのx座標をすべて求めなさい。
解答 ：x = 9/4, 15/4
解説 ：0 < t < 3 のとき PQ : PR = 4 : 3
t : 1/3 t² = 4 : 3 より t = 9/4
3 < t ≦ 5 のとき PQ : PR = 4 : 5
t : 1/3 t² = 4 : 5 より t = 15/4
■大問４
問題４-１： 下の図のように、正方形ABCDの頂点Aに点Pがあります。硬貨を投げ、次の【ルール】に従って、点Pを、反時計回りに正方形ABCDの頂点上を動かす操作を行うとき、あとの各問に答えなさい。
ただし、硬貨の表と裏の出かたは、同様に確からしいものとします。
【ルール】
[1] 1枚の硬貨を投げ、表が出たら頂点2つ分、裏が出たら頂点1つ分、点Pは進んで止まる。
[2] [1]をくり返し、点Pが再び頂点Aに止まったとき、操作は終了する。
(1) 硬貨を2回投げたときに、操作が終了する確率を求めなさい。
解答 ：1/4
解説 ：硬貨を2回投げたときの、硬貨の出方の合計は4通り。操作が終了するときは、頂点Aに止まるとき。樹形図より、頂点Aに止まるのは1通り。よって、求める確率は1/4。
問題４-２①： (2) 次の①、②に答えなさい。
① 点Pが正方形ABCDをちょうど1周したところで、操作が終了する場合の数は何通りあるか求めなさい。
解答 ：5通り
解説 ：硬貨の出方を樹形図に表すと図のようになる。 赤丸は点Pが正方形ABCDをちょうど1周したところで、操作が終了するとき。
問題４-２②：② 点Pが正方形ABCDをちょうど2周したところで、操作が終了する場合の数は何通りあるか求めなさい。
解答 ：9通り
解説 ：硬貨の出方を樹形図に表すと図のようになる。赤線は点Pが正方形ABCDをちょうど2周したところで、操作が終了するとき。
問題５-１：図1のような、1辺の長さが6cmの正方形を底面とし、高さが12cmの透明でふたのない直方体の容器ABCD-EFGHを水で満たし、水平な床の上に置きました。このとき、次の各問に答えなさい。ただし、容器の厚さは考えないものとします。
辺FGを床につけたまま、図2のように、線分AFが床と垂直になるように容器を傾けて、水をこぼしました。このとき、容器に残っている水の体積を求めなさい。
解答 ：378 (cm³)
解説 ：傾けたときの容器を立体で考える。
残っている水の量=四角柱の体積-三角柱の体積
・四角柱の体積：6×6×12=432cm³
・△三角柱の体積：直線BIとAE、DHとの交点をJ、Kとする。
∠AEF=∠BIA=90°、∠AFE=∠BAIより△AEF∽△BIAとわかる。
△AEFにおいて、三平方の定理より(AF)²=12²+6²=180,AF=6√5cm
よって、EF:IA=AF:BA
6:IA=6√5:6
IA=6/√5cm
△BAJ∽△AEFより、BJ:AF=BA:AE
BJ:6√5=6:12
BJ=3√5cm
求める三角柱の体積は(3√5×6/√5×1/2)×6=54cm³
容器に残っている水の体積は 432 – 54√5 = 378 cm³
問題５-２：辺FGを床につけたまま、図3のように、線分AFが床と45°になるように容器をさらに傾けて、水をこぼしました。点Aから床に垂線をひき、床との交点をP、水面と線分APとの交点をQとするとき、床から水面までの高さPQを求めなさい。
解答 ：6√10 / 5 (cm)
解説 ：Fを水面に垂直に引いたときの交点をRとする。
∠BRF=∠AQB=90°,∠FBR=∠BAQより、△BFR∽△ABQ。PQ=x(cm)とすると、
PQ=FR=x(cm), FR:BQ=BF:AB
x:BQ=12:6
BQ=x/2(cm)
∠APF=90°,∠AFP=45°より、△AFPは直角二等辺三角形なので、
AP=1/√2AF=3√10(cm)
△ABQにおいて、三平方の定理(図29)より、
(x/2)²+(3√10-x)²=6²
x²/4+(x²-6√10x+90)=36
5x²/4-6√10x+54=0
5x²-24√10x+216=0
二次方程式の解の公式より、
x=-(-24√10)±√[(-24√10)²-4×5×216]/2×5=24√10±√1440/10=6√10/5(cm)
