令和7年度_学力検査問題過去問【神奈川】-数学の解説

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■大問１

問１ 次の計算をした結果として正しいものを、それぞれあとの1~4の中から1つずつ選び、その番号を答えなさい。

(ア) 　−4+(−11)

1. -15　2.- 7　3. 7　4. 15

解答 ： 1. -15

解説 ： -4+(-11)＝-(4+11)=-15

(イ) 　1/6-4/7

1. -31/42　2. -17/42　3. 17/42　4. 31/42

解答 ： 2. -17/42

解説 ： 1/6-4/7=7/42-24/42=-17/42

(ウ) 　36a²b²×6b÷8a

1. 27ab²　2. 27ab³　3. 48ab²　4.48ab³

解答 ： 2. 27ab³

解説 ： 36a²b²×6b÷8a=216a²b³÷8a=27ab³

(エ) 　(2x+y)/3-(x-3y)/5

1. (7x-14y)/15　2. (7x-4y)/15　3. (7x+4y)/15　4. (7x+14y)/15

解答 ： 4. (7x+14y)/15

解説 ： (2x+y)/3-(x-3y)/5=5(2x+y)/15-3(x-3y)/15=(10x+5y)/15-(3x-9y)/15=(7x14y)/15

(オ) 　(4+√3)(4-√3)-2(1-√3)

1. 5+2√3　2. 5+4√3　3. 11+2√3　4. 11+4√3

解答 ： 3. 11+2√3

解説 ： (4+√3)(4-√3)-2(1-√3)=16-3-2+2√3=11+2√3

■大問２
次の問に対する答えとして正しいものを、それぞれあとの1～4の中から1つずつ選び、その番号を答えなさい。

(ア) 　(x-5)²-7(x-5)-18を因数分解しなさい。

1. (x−14)(x−7) 　2. (x−14)(x−3) 　3. (x−7)(x−4) 　4. (x−4)(x−3)

解答 ： 2. (x−14)(x−3)

解説 ： (x-5)²-7(x-5)-18
(x-5)=Aと置く。
A²-7A-18=(A-9)(A+2)=(x-5-9)(x-5+2)=(x-14)(x-3)

(イ) 　2次方程式 5x² +7x+1=0 を解きなさい。

1. x=(-7±√29)/10　2. x=(-7±√69)/10　3. x=(7±√29)/10　4. x=(7±√69)/10

解答 ： 1. x=(-7±√29)/10

解説 ： 解の公式で解く。
5x² +7x+1=0
x=-7±√(49-4×5×1)/2×5=-7±√(49-20)/10=-7±√29/10

(ウ) 関数 y=−4x²について、xの値が-5から-1まで増加するときの変化の割合を求めなさい。

1. -24　2. -16　3. 16　4. 24

解答 ：4. 24

解説 ： 関数y=-4x²にx=-5、x=-1を代入する。
[x=-5] y=-4×(-5)²=-4×25=-100
[x=-1] y=-4×(-1)²=-4×1=-4
変化の割合は、yの増加量/xの増加量で求められる。
yの増加量/xの増加量=-4-(-100)/-1-(-5)=96/4=24

(エ) ある工場で生産している製品Aについて、今週と先週に生産した個数を比べると、今週は先週より1割増え、今週と先週に生産した個数をあわせると567個だった。
このとき、この工場で今週に生産した製品の個数を求めなさい。

1.270個 　2.283個 　3.284個 　4. 297個

解答 ：4. 297個

解説 ： 先週を1とすると、今週は1×(1+0.1)=1.1
先週と今週の合計は1+1.1=2.1
よって求める式は、567×1.1/2.1=297

(オ) 4<√n<5 をみたす自然数nのうち、√2nが整数となるようなnの値を求めなさい。

1. n=12 　2. n=18 　3. n=24 　4.n=32

解答 ：2. n=18

解説 ：4<√n<5をそれぞれ2乗すると、16 √2nが整数になるには、nが2×(自然数)²となれば良いので、条件を満たすのは2×(3)²=18

(カ) 右の図において、四角形ABCDはAD // BC, ∠BCD=90°の台形であり、 2点C,Dは直線ℓ上の点である。
AD=2 cm, BC=CD=3 cm のとき、この台形を、直線を軸として1回転させてできる立体の体積を求めなさい。ただし、円周率はπとする。

1. 13 π cm³　2. 15 π cm³　3. 19 π cm³　4. 25 π cm

解答 ：3. 19 π cm³

解説 ：問題の図を1回転させてできる図は円錐の一部になる。

よって、求める立体の体積は大きい円錐から小さい円錐をひいて求める。
円錐の高さはAD:BC=ED:EC
2:3=ED：ED+３
ED=6
求める式は、3²π×9×1/3-2²π×6×1/3=(81-24)π×1/3=19π

■大問３
次の問いに答えなさい。

(ア) 右の図1のように、線分ABを直径とする円Oの周上に、2点A、Bとは異なる点Cを、 AC>BC となるようにとる。
また、円Oの周上に点Dを、∠CADが鈍角となるようにとり、線分ABと線分CDとの交点をEとする。
さらに、線分CBの延長上に点Fを、 CF=DFとなるようにとり、線分DFと円Oとの交点をG線分AGと線分BDとの交点をHとする。
このとき、次の(i),、(ii)に答えなさい。


(i) 三角形ACEと三角形AGDが相似であることを次のように証明した。(a)、(b) に最も適するものを、それぞれ選択肢の1~4の中から1つずつ選び、その番号を答えなさい。

解答 ：（a）4. ∠BAD=∠BCD （b）3. ∠CAG=∠CDG

解説 ：それぞれの弧に対する円周角は等しいこと(円周角の定理)を利用し、等しい角度を求める。

(ii) 次の□の中の「あ」「い」「う」にあてはまる数字をそれぞれ0~9の中から1つずつ選び、その数字を答えなさい。

BC=4cm、BG=FG=2cmのとき、三角形ADHの面積は「あ」√「い」/「う」cm²である。

解答 ：あ．7　　い．3　　う．3 　

解説 ：(ⅰ)より、∠CAB=∠GAD、弧BCの円周角より、∠CAB=∠CDB、弧DGの円周角より、∠DAG=∠DBGとなる。
錯角が等しいので、CD//BG。よって△CDF∽△BGFとなりどちらも正三角形である。
△DGIは角度が30°、60°、90°となるので3辺の比からDG=2。IG=2√3となる。
一組の辺とその両端の角が等しいので、
△DHI≡△BHG。よってIH=√3。
また、△ADI∽△DHIより、AI:2=2:√3
AI=4√3/3
求める面積は、△ADH=(4√3/3+√3)×2×1/2=7√3/3

(イ) 　ある中学校で毎年開催されている縄跳び大会は、生徒ひとりひとりが1分間に縄跳びを何回跳べるかに挑み、跳んだ回数を競うものである。参加した3年生のAさん、2年生のBさん、1年生のCさん
は、この大会の実行委員であり、今年の大会の結果について振り返っている。次の会話文はそのときのものである。
また、図2は、参加した生徒それぞれの、今年の大会で跳んだ回数を調べ、学年ごとに箱ひげ図に表したものであり、学年ごとの参加人数は、3年生が100人、2年生が110人、1年生が120人だった。
このとき、Aさん、Bさん、Cさんを、跳んだ回数が多い順に左から並べたものとして最も適するものを1~6の中から1つ選び、その番号を答えなさい。

[会話文]
Aさん 「縄跳び大会の結果が出ましたね。私は学年で21位でした。3年間で記録を伸ばすことができたので、本当にうれしいです。」
Bさん 「よかったですね。私は学年で28位でした。練習のときよりも多く跳べたので満足しています。Cさんはどうでしたか。」
Cさん 「私は学年で5位で、目標にしていた100回を超えることができました。ただ、1年生だけでなく2年生 3年生も含めると、48人の生徒が私より多く跳んでいたそうなので、さらに多く跳べるように頑張りたいと思いました。」
Aさん 「Cさんの意欲はすごいですね。ちなみに、私と同じ回数だった生徒は校内に誰もいなかったそうです。」
Bさん 「そうなんですね。2年生の中には、私より1回多く跳び、学年で23位だった生徒が5人いましたよ。」
Cさん 「そんなこともあるんですね。来年はどうなるでしょうか。早くも来年の大会が楽しみになってきました。来年は運営にももっと積極的に関わっていきたいす。」
Aさん 「来年の大会をよりよくしていくためにできることを一緒に考えていきましょう。」

1. Aさん、Bさん、Cさん　2. Aさん、Cさん、Bさん
3. Bさん、Aさん、Cさん　4. Bさん、Cさん、Aさん
5. Cさん、Aさん、Bさん　5. Cさん、Bさん、Aさん

解答 ：（2. Aさん、Cさん、Bさん

解説 ：会話文の内容を箱ひげ図に落として考える。
Aさんは21位なので、Aさんの上には20人いる。また、Bさんの発言からBさんが3人の中で最も少ないといえる。そして、Cさんの上には全学年で48人いて、そのうちの4人は1年生なので、2、３年生は44人となる。もし、AさんがCさんより少ないとすると、３年生のうちの２０人しかCさんを越えることができない。2年の22人すべてがCさんを越えたとしても44人にはならないので、AさんよりCさんの方が多いといえる。
よって、Cさん、Aさん、Bさんの順となる。

　(ウ) 　右の図3のような幅が一定の白いテープと、下の図4のような横の長さが縦の長さの2倍である長方形の色画用紙がある。長方形の色画用紙に、このテープを途中で曲がらないようにして3か所に貼り、色画用紙の縁に沿ってテープを切ったところ、下の図5のようになった。 図5において、色画用紙のうち、テープを貼っていない部分の面積は480 cm² だった。
図3図4
※図5
Kさんは、この色画用紙の横の長さを次のように求めた。(ⅰ)、(ⅱ)にあてはまるものとして最も適するものを、それぞれの選択肢の中から1つずつ選び、その番号を答えなさい。

[求め方]
色画用紙の縦の長さをxcmとして方程式をつくると、
(ⅰ) =480
となる。
この方程式を解き、解が問題に適しているかどうかを確かめることで、色画用紙の縦の長さを求めることができる。
色画用紙の横の長さは縦の長さの2倍であるから、色画用紙の横の長さは(ⅱ)cmである。

(ⅰ)の選択肢

1. x²-6x-7　2. x²-6x+24　3. 2x²-12x-14
4. 2x²-12x+48　5. 2x²-8x+38　6. 2x²-8x+96

(ⅱ)の選択肢
1. 32　2. 34　3. 36　4. 38

解答 ：（ⅰ）4. 2x²-12x+48　（ⅱ）3. 36

解説 ： (ⅰ) 求める面積は図4のような長方形の色画用紙からテープを貼った部分、つまり②平行四辺形3つと①三角形2つを引いたものである。

①3×4÷2×2=12(cm²)
②4(x-8)+4x+4(x-7)=4x-32+4x+4x-28=12x-60(cm²)
①+②＝12+12x-60=12x-48
もともとの長方形の色画用紙の面積は、x×2x=2x²(cm²)なので、求める式は2x²-(12x-48)=480
(ⅱ)2x²-(12x-48)=480を因数分解する。
2x²-(12x-48)=480
(x+12)(x-18)=0
x>8より、x=18、2x=36

　(エ) 　次の□の中の「え」「お」にあてはまる数字をそれぞれ 0～9の中から1つずつ選び、その数字を答えなさい。
右の図6において、四角形ABCDは正方形であり、三角形ADEは∠ADE=27°、∠AED=90°の直角三角形である。
また、点Fは線分DE上の点で、AE//BFであり、点Gは線分ACと線分BFとの交点である。
このとき、∠CGD = [えお]°である。
図6

解答 ：72°

解説 ： △BCGと△DCGにおいて、
CG=CG・・・①
四角形ABCDは正方形なのでBC=DC・・・②
∠BCG=∠DCG=90÷2=45°・・・③
①②③より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△BCF≡△DCG
また、点Fは∠AED=90°の直角三角形なので∠DFH=90°
三角形の内角の和より、∠FHD=180-(90+27)=63°
平行線の同位角より、∠FHD=∠CBG=63°
内角の和より、∠CGB=180-(63+45)=72°
△BCF≡△DCGなので、∠CGD=CGB=72°

　■大問４
　右の図において、直線①は関数 y=−x のグラフであり、曲線②は関数 y=ax²のグラフ、曲線③は関数 y= 4/xのグラフである。
点Aは直線①と曲線②との交点で、そのx座標は-8である。点Bは曲線②上の点で、線分ABはx軸に平行である。点Cは線分AB上の点で、AC: CB=1:3である。
また、点Dは曲線③上の点で、線分BD はy軸に平行である。点Eは曲線③上の点で、そのx座標は-6である。
さらに、原点をOとするとき、点Fは 直線①上の点で、AO: OF=4:3であり、そのx座標は正である。
このとき、次の問いに答えなさい。


(ア) 曲線②の式 y=ax²のaの値として正しいものを次の1~6の中から1つ選び、その番号を答えなさい。
1. a=1/8　2. a=1/6　3. a=1/4
4. a=3/8　5. a=1/2　6. a=3/4

解答 ：1. a=1/8

解説 ： 点Aはy=-x上の点でx=-8を代入するとy=8
よって点Aの座標は(-8、8)
y=64aに(-8、8)を代入すると
8=64a
a=1/8

　(イ)　 直線EFの式を y=mx+n とするときの(ⅰ)mの値と、(ⅱ)nの値として正しいものを、それぞれ次の1~6の中から1つずつ選び、その番号を答えなさい。

(ⅰ) mの値
1. m=-4/3　2. m=-7/6　3. m=-8/9
4. m=-5/6　5. m=-2/3　6. m=-4/9

(ⅱ)nの値
1. n=-16/3　2. n=-9/2　3. n=-4
4. n=-7/2　5. n=-10/3　6. n=-3

解答 ：（ⅰ）6. m=-4/9　（ⅱ）5. n=-10/3

解説 ：直線EFの式をy=mx+nとすると、点Eはy=4/x上の点で、x=-6を代入するとy=-2/3となる。よって、点Eの座標は(-6、-2/3)
AO:OF=4:3より、点Fの座標は(6、-6)となる。
EFの傾きはyの増加量/xの増加量なので、｛-6-(-2/3)｝/6-(-6)=-(16/3)/12=-4/9
y=-4/9x+nに(6、-6)を代入すると、
-6=-4/9×6+n
n=-10/3

　(ウ) 　次の□の中の「か」「き」「く」「け」にあてはまる数字をそれぞれ0~9の中から1つずつ選び、その数字を答えなさい。
線分CD上に点Gを CG=GD となるようにとる。このときの、三角形COGと三角形DGFの面積の比を最も簡単な整数の比で表すと、 △COG: △DGF= 「かきくけ」である。

解答 ：22:31:00

解説 ：等積変形を利用して解いていく。
CG=GDなので、△COG=△DOG
CDと平行な線を点Oからひいていき、DFとの交点を点Hとすると、△DOG=△DGHとなる。
よって、△COG：△DGF=△DGH：△DGF
△DGHと△DGFの面積比はDH：DFと等しいので、点Hの座標を求めていく。
点C(-4.8)、点D(8.1/2)より、CDの傾き＝(1/2-8)/｛8-(-4)｝=-5/8
CDとOHの傾きは等しいので、OHはy=-5/8x・・・①
点D(8.1/2)、点F(6.-6)より、DFの傾きは(-6-1/2)(6-8)=13/4。DFの式はy=13/4x-51/2・・・②
①②を連立方程式で解くと
x=204/31←点Hのx座標
8-204/31=44/31、8-6=2となるので、
DH：DF=44/31：2=22：31

　■大問５
右の図1のように、30gのおもりが8個, 50gのおもりが7個、80gのおもりが1個ある。
大、小2つのさいころを同時に1回投げ、大きいさいころの出た目の数をa、小さいさいころの出た目の数をもbする。
さいころの出た目の数によって、KさんとLさんは、次の【ルール】にしたがってこれらのおもりを取り分ける。それぞれが取ったおもりをすべてはかりにのせ、計測した重さについて考える。
図1
【ルール】
まず、Kさんは30gのおもりをa個と50gのおもりをb個取り、Lさんは残った30gのおもりと50gのおもりをすべて取る。
次に、KさんとLさんのうち、30gのおもりと50gのおもりを合わせた個数の少ない方が80gのおもりを取る。

【例】
大きいさいころの出た目の数が5、小さいさいころの出た目の数が2のとき、a=5, b=2である。
【ルール】により、まず、Kさんは30gのおもりを5個 50gのおもりを2個取り、Lさんは残った30gのおもりと50gのおもりをすべて取るので、30gのおもりを3個, 50gのおもりを5個取る。
次に、30gのおもりと50gのおもりを合わせた個数は、Kさんが7個,Lさんが8個なので、合わせた個数の少ないKさんが80gのおもりを取る。
それぞれが取ったおもりをすべてはかりにのせると図2のようになり、Kさんの計測した重さは330g, Lさんの計測した重さは340gとなる。
図2

いま、図1の状態で、大、小2つのさいころを同時に1回投げるとき、次の問いに答えなさい。ただし、大、小2つのさいころはともに、1から6までのどの目が出ることも同様に確からしいものとする。

(ア) 次の□の中の「こ」「さ」「し」にあてはまる数字をそれぞれ0~9の中から1つずつ選び、その数字を答えなさい。
　Kさんの計測した重さが200g未満となる確率は「こさし」 である。”

解答 ：1/18

解説 ：Kさんがとる30gと50gのおもりの重さの合計は表のようになる。
表
【ルール】より、30gと50gのおもりは全部で15個なので、a+bが7個以下の時はKさんが80gのおもりをとり、a+bが8個以上の時はLさんが80gのおもりをとる。
表より、Kさんの合計が200g未満になるのはa+bが80、110の2通りなので、求める確率は2/36=1/18

　(イ) 　次の□の中の「す」「せ」「そ」「た」にあてはまる数字をそれぞれ0~9の中から1つずつ選び、その数字を答えなさい。
　Kさんの計測した重さがLさんの計測した重さより重くなる確率は「すせそた」 である。

解答 ：17/36

解説 ：おもりの重さの合計は30×8+50×7+80=670
つまり、Kさんが670÷2=335gを越えればLさんより重くなるといえる。
表より、80gのおもりを取る場合を考慮して335以上になるのは17通りになる。
よって、求める確率は17/36
表

　■大問６　
右の図は、 AB=BC=13 cm, AC=10 cn の二等辺三角形ABCを底面とし, AD=BE=CF=18 cm を高さとする三角柱である。
また、点Gは辺BE上の点で、 BG:GE=8:1 であり、点Hは辺 BEの中点である。
このとき、次の問いに答えなさい。


(ア) この三角柱の表面積として正しいものを次の1~6の中から1つ選び、その番号を答えなさい。

1. 468 cm²　2. 478 cm²
3. 648 cm²　4. 658 cm²
5. 768 cm²　5. 778 cm²

解答 ：5. 778 cm²

解説 ：三角柱の表面積=底面積＋側面積

［底面積］
三平方の定理より底面積の高さ=12cm
底面積=10×12×1/2=60cm²
底面積は上下に二つあるので、60×2=120cm²
［側面積］
縦18cm、横13cmの長方形が二つと、縦18cm、横10cmの長方形が一つなので
側面積=18×13×2+18×10=648cm²
よって表面積は120+648=768cm²

　(イ) 　次の□の中の「ち」「つ」「て」にあてはまる数字をそれぞれ0~9の中から1つずつ選び、その数字を答えなさい。
この三角柱において、図のように、点Gから3点D、F、Hを通る平面に引いた垂線と、3点D、F、Hを通る平面との交点をⅠとする。このときの、線分GIの長さは「ちつて」cmである。

解答 ：28/5

解説 ：点Iを含むように三角柱をEBから3点D、F、Hを通る平面にむかって垂直に切断し、図のような断面ができる。

点Gは辺BE上の点で、BG:GE=8：1、点Hは辺BEの中点なので、GE=18×1/9=2cm、GH=9-2=7cmとなる。
三平方の定理より、JH=15cm。JH：JE=15：12=5：4
HIとFDの交点を点Jとすると、△JHE∽△GHIとなるので、
GH：GI=5：4
7：GI=5：4