2025年度岡山学力検査問題過去問【数学】

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■大問１

次の1～4の計算をしなさい。5～11は指示に従って答えなさい。

1-1:-3-(-4)

解答 ： 1

解説 ：-3-(-4)=-3+4=1

1-2:(-6ab)×2/3{b}

解答 ： -4ab²

解説 ： (-6ab)×2/3{b)=-2ab×2b=-4ab²

1-3:5(a-2b)+4(2a+b)

解答 ： 13a-6b

解説 ： 5(a-2b)+4(2a+b)=5a-10b+8a+4b=13a-6b

1-4:(3+√2)(3-√2)

解答 ： 7

解説 ： (3+√2)(3-√2)=9-2=7

※公式(a+b)(a-b)=a²-b²　

1-5:方程式(x+3)²=7x+15を解きなさい。

解答 ： x=-2,x=3

解説 ： (x+3)²=7x+15
x²+6x+9=7x+15
x²+6x-7x+9-15=0
x²-x-6=0
(x-3)(x+2)=0
x=-2,3

1-6:nは2以上20以下の自然数とします。√{3(2n + 1)}の値が自然数となるようなnの値を求めなさい。

解答 ： n=13

解説 ： √{3(2n+1)}が自然数になるためには、中身の3(2n+1)がk²(kは自然数)の形である必要があります。
式の中にすでに3が一つあるので、全体を平方数にするためには、残りの(2n+1)の中に 「3×(何かの2乗)」 という要素が含まれていなければなりません。つまり、2n+1=3m²(mは自然数) と表せます。
nは2以上20以下の自然数なので、2n+1がとり得る範囲を計算します。
最小値：2×2+1=5
最大値：2×20+1=41
つまり、5≦2n+1≦41の範囲で、3m²になる数を探します。
条件に合うmは、m=2のとき（3m²=12）とm=3のとき（3m²=27）です。
・2n+1=12のとき：2n=11となり、nは自然数にならないので不適です。
・2n+1=27のとき：2n=26→n=13

1-7:四角錐の投影図として最も適当なのは、ア～エのうちではどれですか。一つ答えなさい。

解答 ： ウ

解説 ： ア：正六面体（立方体）など 立面図も平面図も正方形なので、これは箱のような形です。

イ：三角柱 平面図が三角形で、立面図が四角形。横に倒した三角柱の形ですね。

ウ：四角錐
立面図： 正面から見ると三角形に見えます。
平面図： 真上から見ると正方形の中に、対角線が見えます。まさに四角錐の特徴です。

エ：三角錐 平面図が三角形の中に点がある形なので、これは底面が三角形の錐体です。

1-8:yがxに反比例するものは、ア～エのうちではどれですか。当てはまるものをすべて答えなさい。
ア 分速xmで30分歩いたときに進んだ道のりym
イ 面積が20cm²の三角形の底辺xcmと高さycm
ウ 100cmのひもをx等分したときの1本の長さycm
エ 半径がxcmの円周の長さycm

解答 ： イ　ウ

解説 ： ア：道のり=速さ×時間
式にするとy=30xとなります。これはxが増えるとyも一定の割合で増える比例の関係です。
イ：三角形の面積=底辺×高さ÷2
20=x×y÷2なので、整理するとxy=40となります。積が一定になるので、これは反比例です。
ウ：1本の長さ=全体の長さ÷分割数
式にするとy=100/xとなります。これも典型的な反比例の形です。
エ：円周の長さ=直径×円周率
式にするとy = 2πxとなります。これも比例の関係です。

1-9:次のことがらについて、内容の正誤を判断しなさい。正しい場合には、解答用紙の「正」を〇で囲み、方眼には何もかかないようにしなさい。誤っている場合には、解答用紙の「誤」を〇で囲み、方眼を利用して反例となる四角形を一つかきなさい。

四つの辺がすべて等しい四角形は、正方形である。

解答 ： 誤

解説 ： 四角形の定義を整理すると、違いがはっきりします。
・ひし形： 4つの辺がすべて等しい四角形。
・正方形： 4つの辺がすべて等しく、かつ4つの角がすべて等しい四角形。
つまり、「4つの辺がすべて等しい」という条件だけでは、それはひし形であることを示しているに過ぎません。角が直角でないひし形が存在するため、「正方形である」と言い切ることはできないのです。

1-10:大小二つのさいころを同時に投げるとき、出た目の数の和が12の約数となる確率を求めなさい。ただし、さいころの1から6までの目の出方は、同様に確からしいものとします。

解答 ： 1/3

解説 ： 大きいさいころが6通り、小さいさいころが6通りなので、全部で6×6=36通り あります。2つのさいころの目の和は、最小で1+1=2、最大で6+6=12です。この範囲にある「12の約数」は、2, 3, 4, 6, 12です。
・和が 2： (1, 1) → 1通り
・和が 3： (1, 2), (2, 1) → 2通り
・和が 4： (1, 3), (2, 2), (3, 1) → 3通り
・和が 6： (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1) → 5通り
・和が 12： (6, 6) → 1通りこれらをすべて足すと、 1+2+3+5+1=12通り です。
よって、求める確率は、12/36=1/3

1-11:図のような△ABCにおいて、辺BCを底辺とみたときの高さをAHとするとき、辺BC上の点Hを定規とコンパスを使って作図しなさい。作図に使った線は残しておきなさい。

解答 ：

解説 ： 1.円弧をかく： コンパスの針を点Aに置き、辺BCと2点で交わるように円弧をかきます。この交点をP, Qとします。
2.交点からさらに円弧をかく： コンパスの針を点Pに置き、円弧をかきます。次に、同じ半径のまま針を 点Qに置き、先ほどの円弧と交わるように円弧をかきます。
3.直線を引く： 点Aと、手順2でできた交点を定規で結びます。
仕上げ： 辺BCと引いた線が交わった点にHと書き込みます。

■大問２

花子さんの家の近所にある焼き鳥屋では、図に示すように、焼き鳥3本入りの商品Aと5本入りの商品Bの2種類の商品が販売されています。(1)、(2)に答えなさい。

焼き鳥3本入りの商品Aと5本入りの商品Bを合わせて160個用意したとき、焼き鳥の本数の合計が700本でした。①、②に答えなさい。

2-1①:用意した商品Aの個数をx個、商品Bの個数をy個として、連立方程式をつくりなさい。

解答 ： x+y=160
3x+5y=700

解説 ： 問題文から、以下の2つの数量に注目します。
・商品の個数： 商品A（x個）と商品B（y個）の合計が160個。
x+b=160
・焼き鳥の本数：商品Aは1個につき3本入り→全部で3x本。商品Bは1個につき5本入り→全部で5y本。この合計が 700本。
3x+5y=700

2-1②:用意した商品Aと商品Bの個数は、それぞれ何個であるかを求めなさい。

解答 ： 商品A 50個
商品B 110個

解説 ： x+y=160…①
3x+5y=700…②
①×3より、
3x+3y=480…①’
②-①’より、
x=50,y=110

焼き鳥3本入りの商品Aと5本入りの商品Bをそれぞれ何個か用意したとき、焼き鳥の本数の合計が62本でした。①、②に答えなさい。

2-2①:次の数量の間の関係から、二元一次方程式をつくることができます。
用意した商品Aの個数をa個、商品Bの個数をb個とするとき、焼き鳥の本数の合計は62本である。
a=19、b=1は、この方程式の解の一つです。a,bの値が、ともに0以上の整数のとき、この方程式の解は、a=19,b=1を含めて、全部で何個あるかを求めなさい。

解答 ： 4

解説 ： 焼き鳥の本数を式にすると3a+5b=62 となります。
この式を満たす「0以上の整数」の組み合わせを、規則性を使って見つけます。
問題文に「a=19, b=1」が答えの一つだと書いてあります。これをスタート地点にします。合計を62本のまま変えないためには、「aを5個減らす」代わりに「bを3個増やす」という入れ替えをすればOKです。
なぜなら、3×5=15本分を、aからbへ移動させるだけだからです。
・1組目：a=19, b=1（スタート）
・2組目：a=14, b=4（aを5減らし、bを3増やす）
・3組目：a=9, b=7（さらにaを5減らし、bを3増やす）
・4組目：a=4, b=10（さらにaを5減らし、bを3増やす）
よって、4個です。

2-2②:用意した商品Aと商品Bの個数の合計が最も少ないのは、商品Aと商品Bの個数がそれぞれ何個のときであるかを求めなさい。

解答 ： 商品A 4個
商品B 10個

解説 ： ①で書き出した4つの組み合わせの中から、合計個数が一番少なくなるものを探せばOKです。
・1組目：a=19, b=1合計 20個
・2組目：a=14, b=4合計 18個
・3組目：a=9, b=7合計 16個
・4組目：a=4, b=10合計 14個
比較すると、最も少ないのは 14個 のときだとわかります。

■大問３

体育委員の太郎さんは、中学生の握力について調べています。図は、太郎さんの中学校で実施した2010年、2015年、2020年の2年生の握力測定の記録をもとに作った箱ひげ図です。いずれの年もデータの個数は47個です。(1)～(4)に答えなさい。

3-1:太郎さんが作った箱ひげ図から読み取れることとして、次のことがらは、正しいといえますか。［選択肢］のア～ウの中から最も適当なものを一つ答えなさい。
第3四分位数は、2010年が最も大きい。

ア 正しい
イ 正しくない
ウ 太郎さんが作った箱ひげ図からはわからない

解答 ： ア

解説 ： 2010年： 約 29.9 kg
2015年： 約 29.7 kg
2020年： 約 29.7 kg
比較すると、2010年の箱の値が最も大きいことがわかります。

3-2:四分位範囲は、データの散らばりの度合いを表す指標です。太郎さんが作った箱ひげ図の2010年と2015年では、それぞれの年のすべてのデータのうち、真ん中に集まる約半数のデータについて、散らばりの度合いが大きいのはどちらですか。解答欄の「」に「2010」または「2015」のいずれかを書きなさい。また、そのように判断した理由を答えなさい。その際、四分位範囲が箱ひげ図のどの部分を表しているかにふれて答えなさい。

解答 ： [2010]年の方が散らばりの度合いが大きい。
【理由】
四分位範囲は、箱ひげ図の箱の横の長さを表しており、2010年と2015年の箱の長さを比較したとき、2010年の方が長く、四分位範囲が大きいといえるから。

解説 ： 「四分位範囲」は、第3四分位数から第1四分位数を引いた値であり、図では「箱の幅」そのものです。
2010年の箱は「28.7kg〜29.9kg」付近、2015年の箱は「28.9kg〜29.7kg」付近にあり、2010年の方が幅が広いことが読み取れます。

太郎さんは2015年と2020年の箱ひげ図が同じなので、箱ひげ図を作るときにもとにしたデータを使って、ヒストグラムをつくりました。

3-3:2015年、2020年の二つのヒストグラムから読み取れることを正しく説明しているのは、ア～エのうちではどれですか。当てはまるものをすべて答えなさい。

ア 30.0kg以上30.5kg未満の階級には、どちらの年もデータが含まれている。
イ 度数が最も多い階級の階級値は、2015年より2020年の方が大きい。
ウ 中央値が入っている階級の度数は、どちらの年も同じである。
エ 28.0kg以上28.5kg未満の階級の累積相対度数は、2020年より2015年の方が大きい。

解答 ： イ　エ

解説 ： ア：2015年： この階級の棒がありません。2020年： 度数が2人の棒があります。片方の年にデータが含まれていないため、間違いです。
イ：2015年： 最も度数が多いのは「29.0〜29.5」の階級です。2020年： 最も度数が多いのは「29.5〜30.0」の階級です。2020年の方が右側の階級が最大度数になっているため、正しいです。
ウ：データの個数は47個なので、中央値は小さい方から数えて24番目の人がいる階級です。2015年：1+3+5+11= 20人。24番目は次の「29.0〜29.5」の階級にいます。2020年：1+0+5+9=15人。24番目は次の「29.0〜29.5」の階級にいます。度数が13人と12人で異なるため、間違いです。
エ：「累積相対度数」を比べるには、その階級までの「人数の合計」を比べればOKです。2015年： 28.5kg未満の合計は1+3+5=9人。2020年： 28.5kg未満の合計は1+0+5=6人。2015年の方が累積人数が多いため、累積相対度数も大きくなります。よって、正しいです。

3-4:次の文章は、握力について調べた後の太郎さんの振り返りです。＜太郎さんの振り返り＞について、(あ)～(う)に当てはまることばの組み合わせとして最も適当なのは、ア～カのうちではどれですか。一つ答えなさい。

＜太郎さんの振り返り＞ 箱ひげ図は、(あ)という特徴がある。また、四分位数や四分位範囲などを読み取りやすく、(い)などを読み取りにくいという特徴がある。一方、ヒストグラムは、(い) や (う) などを読み取りやすいという特徴があるため、目的に応じて二つを合わせて用いることが必要な場面もある。

ア (あ)一つのデータの分布を詳細に読み取ることができる (い)最大値 (う)範囲
イ (あ)一つのデータの分布を詳細に読み取ることができる (い)最大値 (う)分布の形
ウ (あ)複数のデータの分布を一度に比較しやすい (い)最大値 (う)範囲
エ (あ)一つのデータの分布を詳細に読み取ることができる (い)最頻値 (う)分布の形
オ (あ)複数のデータの分布を一度に比較しやすい (い)最頻値 (う)分布の形
カ (あ)複数のデータの分布を一度に比較しやすい (い)最頻値 (う)範囲

解答 ： オ

解説 ： (あ)：図6のように、複数の年度を縦に並べて表示することで、それぞれのデータの散らばり具合を「複数のデータの分布を一度に比較しやすい」という大きなメリットがあります。
(い)：箱ひげ図では「最大値」や「最小値」はひげの端でわかりますが、「最頻値」は図の形から直接読み取ることができません。一方、ヒストグラムは棒が一番高いところを見れば最頻値が一目でわかります。
(う)：ヒストグラムは、データがどこにどれくらい集まっているかという「分布の形」を視覚的に詳細に捉えることができます。

■大問４

図のように、関数y=1/2x²のグラフと関数y=1/6x²のグラフがあります。二つのグラフ上の点を結んでできる二つの三角形について、それらの間の関係を考えます。(1)～(4)に答えなさい。

【図の説明】 点Oを原点とする座標平面上に、関数y=1/2x²のグラフと関数y=1/6x²のグラフがある。
点A、C、E、Gは、関数y=1/6x²のグラフ上にある。
点B、D、Fは、関数y=1/2x²のグラフ上にある。
点A、B、C、D、E、F、Gの $x$ 座標は正である。
点Aと点B、点Cと点D、点Eと点Fのx座標はそれぞれ等しい。
点Bと点C、点Dと点E、点Fと点Gのy座標はそれぞれ等しい。
点A、B、Cを結び、三角形ABCをつくる。
点E、F、Gを結び、三角形EFGをつくる。

4-1:aを正の定数とするとき、関数y=ax²に関して述べたⅠ、Ⅱ、Ⅲの文について、内容の正誤を表したものとして最も適当なのは、ア～カのうちではどれですか。一つ答えなさい。
Ⅰ　xの変域が-1≦x≦2 のとき、yの変域はa≦y≦4aである。
Ⅱ　変化の割合は常に一定である。
Ⅲ　グラフはy軸について対称である。

ア Ⅰのみ正しい。
イ Ⅱのみ正しい。
ウ Ⅲのみ正しい。
エ ⅠとⅡのみ正しい。
オ ⅠとⅢのみ正しい。
カ ⅡとⅢのみ正しい。

解答 ： ウ

解説 ： Ⅰ：関数y=ax² (a>0) のグラフは原点(0, 0)を通る下に凸な放物線です。xの変域が負から正にまたがっている場合、yの最小値は必ず0になります。また、x=2のときy=a(2)²=4aとなるため、正しいyの変域は0≦y≦4aです。
Ⅱ：変化の割合が常に一定なのは「一次関数」の特徴です。y=ax²のような二次関数では、選ぶxの区間によってグラフの傾き具合が変わるため、一定ではありません。
Ⅲ：y=ax²のグラフは、頂点を原点とし、y軸を対称の軸とする放物線になります。xに2を代入しても-2を代入しても、yの値は同じ4aになることからもわかります。

4-2:点Aのx座標をtとするとき、点Cのy座標をtを用いて表しなさい。

解答 ： 1/2t²

解説 ： 問題文より、点Aと点Bのx座標は等しいため、点Bのx座標もtです。点Bは関数y =1/2x²のグラフ上にあるので、そのy座標はx=tを代入して、y=1/2t²

4-3:次のことがらは、3点A、B、Cの座標について述べています。(あ)、(い)に適当な数を書きなさい。
点Bのy座標は、点Aのy座標の (あ) 倍になっている。
点Cのy座標も、点Aのy座標の (あ) 倍になっている。yはxの2乗に比例するので、点Cのx座標は、点Aのx座標の (い) 倍になっている。

解答 ： あ：3
い：√3

解説 ： あ：点Aと点Bのx座標はどちらもtです。それぞれのy座標を式に代入して比較します。
点Aのy座標：関数y=1/6x²上にあるので、1/6t²です。
点Bのy座標：関数y=1/2t²上にあるので、1/2t²です。
点Bのy座標が点Aの何倍かを計算すると：
1/2t²÷1/6t²=1/2×6=3

い：(い) の求め方点Cのy座標は点Bと同じなので、1/2t²です。点Cは関数y=1/6x²上にあるので、このy座標を使って点Cのx座標を求めます。 1/6x²=1/2t²
両辺を6倍すると：x=√3t²
x>0なので、平方根をとると：x=√3t
点Cのx座標 (√3t) は、点Aのx座標 (t) の√3倍になっています。

4-4:△EFGの面積は、△ABCの面積の何倍かを求めなさい。

解答 ： 27倍

解説 ： (3)で求めた通り、点Cのx座標は、点Aの√3倍です。図を見ると、点Eは点Dを基準に、さらに同じルールで右に移動した点です。つまり、点Eのx座標は、点Cのさらに√3倍、つまり最初のtから見て√3×√3=3倍になっています。全体の形が右に3倍に引き伸ばされた形になるため、底辺の長さも3倍になります。このグラフのy座標は、x座標の2乗に比例します。横の長さ（x）が3倍になると、縦の長さ（y）は3×3で9倍になります。したがって、三角形の高さも9倍に引き伸ばされます。
底辺が3倍、高さが 9倍、面積は3×9=27倍となります。

■大問５

図のように、1辺の長さが 4 cm の正方形ABCDがあり、辺BCの中点をEとし、線分AEを1辺とする正方形AEFGをかきます。点Aと点C、点Aと点F、点Cと点Fをそれぞれ結び、線分EFと線分ACの交点をHとします。(1)～(5)に答えなさい。

5-1:線分AEの長さを求めなさい。

解答 ： 2√5cm

解説 ： AB=4cm
BE=2cm
AE²=AB²+BE²
AE=4²+2²
AE²=16+4=20
AE>0なので、
AE=√20=2√5

5-2:△AHF∽△EHCを証明しなさい。

解答 ： △AHFと△EHCにおいて、対頂角は等しいから、
∠AHF=∠EHC…①
△AEF,△ABCは、直角二等辺三角形だから、
∠AFH=∠ECH=45°…②
①、②から、
2組の角がそれぞれ等しいので、
△AHHF∽△EHC

解説 ： ポイント
・対頂角を見つける。
・正方形の対角線が作る45°を利用する。

5-3:∠ACFの大きさを求めなさい。

解答 ： 90°

解説 ： ⑵より、∠ACE=∠AFH=45°です。
線分AEについて、CとFが同じ側にあり、∠ACE=∠AFEなので、円周角の定理の逆より、4点A・E・C・Fは同一円周上にあることがわかります。
したがって、∠ACF=∠AEF=90°

5-4:線分CHの長さを求めなさい。

解答 ： 2√2/3cm

解説 ： △ABEと△ACFにおいて、∠ABE=∠ACF=90°
∠BAE=45°-∠EAC=∠CAFから2角相等で相似です。
△ABCは直角二等辺なので、相似比はAB:AC=1:√2となります。
△ABEの各辺を√2倍し、△ACFの辺の長さを求めます。
BE=EC=2cm、AE=2√5cm、AC=4√2cm、CF=2√2cm、AF=2√10cm

△AEFと△CEFは底辺EFが共通だから、高さの比AH:HCが面積比に相当します。
そして、四角形AECFは円に内接する四角形で対角の和は180°だから、∠EAF+∠ECF=180°
AH:HC=△AEF:△CEF=（AE×AF）:（CE×CF）=（2√5×2√10）:（2×2√2）=20√2:4√2=⑤:①
CH=4√2×①/⑥=2√2/3cm

5-5:3点A、E、Fを通る円の中心をP、3点C、F、Hを通る円の中心をQとします。このとき、線分PQの長さを求めなさい。

解答 ： 5√2/3cm

解説 ：
半円の弧に対する円周角は90°です。
各円の直径はAFとHFであり、それぞれの中点が中心PとQです。
AH=4√2-2√2/3=10/2√3cm
△AFHで中点連結定理より、PQ=10√2/3÷2=5√2/3cm