令和7年度_学力検査問題過去問【東京】-数学の解説

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■目次　

■大問１

次の各問に答えよ。
（問１）3-6²÷4　を計算せよ。

解答 ： -6

解説 ： ・足し算や引き算より、掛け算割り算を優先的に計算する。
3-6²÷4=3-36÷4=3-9=-6　よって、答えは -6。

（問２）(9a-b)/5-a+2b　を計算せよ。

解答 ： (4a+9b)/5　(4a/5+9b/5)

解説 ：(9a-b)/5-a+2b=9a/5-b/5-a+2b=9a/5-a-b/5+2b=9a/5-5a/5-b/5+10b/5=(9a-5a)/5-(b-10b)/5=4a/5-(-9b)/5=4a/5+9b/5　よって、答えは 4a/5+9b/5。

（問３）(3√7+8)(3√7-8)　を計算せよ。

解答 ：-1

解説 ：・乗法公式「x²-a²=(x-a)(x+a)」を使う。
(3√7+8)(3√7-8)=(3√7)²-8²=63-64=-1　よって、答えは-1。

（問４）一次方程式　(9x-6)/2=4x+1　を解け。

解答 ： 8

解説 ： ・まずは、左辺の分数をなくす(分母をなくす)ために、両辺に2をかける。その後、移行して左辺にx、右辺に整数をまとめて方程式を解く。
(9x-6)/2=4x+1　→9x-6=(4x+1)×2　→9x-6=8x+2　→9x-8x=2+6　→x=8　　よって、x=8

（問５）連立方程式　8x-5y=-3, y=2x-1　を解け。

解答 ： x=4, y=7

解説 ： ・1つの式が「y=~」のかたちになっているので、代入法で解く。
y=2x-1を8x-5y=-3に代入する。
8x-5(2x-1)=-3　→8x-10x+5=-3　→-2x=-3-5　→-2x=-8　→2x=8　→x=4
x=4をy=2x-1に代入して、y=2×4-1=8-1=7　　よって、x=4, y=7
※式を変形すれば、加減法でも解くことができる。

（問６）二次方程式　x²-9x+7=0　を解け。

解答 ： (9±√53)/2

解説 ： 因数分解できないので、解の公式を使って解く。

x=(9±√9²-4×1×7)/2×1　→x=(9±√81-28)/2　→x=(9±√53)/2　よって、答えはx=(9±√53)/2

（問７）次の[ ① ]と[ ② ]に当てはまる数を，下のア～クのうちからそれぞれ選び，記号で答えよ。

関数y=-x²について，x の変域が-2≦x≦3のときのyの変域は，[ ① ]≦y≦[ ② ]である。

ア -9　イ -6　ウ -4　エ -2　オ 0　カ 4　キ 6　ク 9

解答 ：① ア　② オ

解説 ：y=-x²のグラフは次のようになる。

xの変域は、x軸(横軸)のピンクの範囲、y=-x²のグラフにおける-2≦x≦3の範囲は水色の部分、y=-x²のグラフの-2≦x≦3の範囲におけるyの変域が、y軸(縦軸)の赤の部分である。
-2≦x≦3の範囲のうち、最小値が①、最大値が②に入る。
yの値は縦軸で、上に行くほど値が大きく、下に行くほど値が小さくなる。よって、yの最大値は0、最小値は-9であるとわかる。よって、①はアの-9、②はオの0となる。

（問８）次の中の「あ」「い」に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。
右の図1のように，1，2，3，4，5 の数字を1つずつ書いた5枚のカードがある。この5枚のカードから同時に3枚のカードをこの5枚のカードから同時に3枚のカードを取り出すとき，取り出した3枚のカードに書いてある数の和が10以上になる確率は，[ あ ]/[ い ]である。 ただし，どのカードが取り出されることも同様に確からしいものとする。

解答 ： あ 2　い 5

解説 ：樹形図を描いて考える。

樹形図をみると、5枚から3枚取り出す組み合わせは、全部で10通りとわかる。また、取り出した3枚のカードに書かれた数の和が10以上になる組み合わせは、(1, 4, 5)、(2, 3, 5)、(2, 4, 5)、(3, 4, 5)の4通りである。よって、取り出した3枚のカードに書いてある数の和が10以上になる確率は4/10となり、2/5である。
以上より、[ あ ]に2、[ い ]には5が入る。

（問９）右の図2で，四角形ABCDは平行四辺形である。解答欄に示した図をもとにして，辺AD上にあり，頂点B，頂点Cまでの距離が等しい点Pを，定規とコンパスを用いて作図によって求め，点Pの位置を示す文字Pも書け。ただし，作図に用いた線は消さないでおくこと。

解答 ：

解説 ：点Pについて、頂点B，頂点Cまでの距離が等しいということから、点Pは辺BCの垂直二等分線上にある点だとわかる。
よって、垂直二等分線と辺ADとの交点をとって、点Pと記す。

■大問２

（問１）Ｓさんのクラスでは，先生が示した問題をみんなで考えた。
次の各問に答えよ。

[先生が示した問題]
右の図1のように，円Oの円周を12等分する点に，1から12までの自然数の番号を，小さい順で時計回りに付ける。
1から12までの番号を付けた点のうち，2点を結んでできる線分が円Oの直径となるとき，その2点を向かい合う点とする。
例えば，1の点と7の点は，向かい合う点である。
図1において，1組の向かい合う点を選び，それぞれの点の番号のうち，小さい方の数をa，大きい方の数をbとする。
a，bの平均値をA，b²- a²の値をBとするとき，BはAの何倍か求めなさい。

［先生が示した問題］で，BはAの[　　]倍と表すとき， [　　]に当てはまる数を，次のア〜エのうちから選び，記号で答えよ。

ア 3　イ 4　ウ 6　エ 12

解答 ： エ

解説 ： [先生が示した問題]の中で例として書かれている、1の点と7の点を使って考える。
そのうち、小さい方の数をa、大きい方の数をbとするので、この場合、a=1、b=7である。
Aはa、bの平均値なので、(1+7)÷2=8÷2=4　よって、A=4。次にBはb²- a²の値なので、7²-1²=49-1=48　したがって、B=48。BがAの何倍かを求めるので、48÷4=12。よって、12倍とわかる。

(2, 8)について。A=(2+8)÷2=5　B=8²-2²=64-4=60　B÷A=60÷5=12
(3, 9)について。A=(3+9)÷2=6　B=9²-3²=81-9=72　B÷A=72÷6=12
(6, 12)について。A=(6+12)÷2=9　B=12²-6²=144-36=108　B÷A=108÷9=12
以上のように、向かい合う他の点の組み合わせでもBはAの12倍になる。

よって、選択肢エの12が適当である。

（問２）Sさんのグループは，［先生が示した問題］をもとにして，次の問題を作った。

［Sさんのグループが作った問題］
右の図2のように，円Oの円周を24等分する点に，1から24までの自然数の番号を，小さい順で時計回りに付ける。1から24までの番号を付けた点のうち， 2点を結んでできる線分が円Oの直径となるとき，その2点を向かい合う点とする。図2において，異なる2組の向かい合う点を選び，1組目のそれぞれの点の番号のうち，小さい方の数をa，大きい方の数をbとし，2組目のそれぞれの点の番号のうち，小さい方の数をc，大きい方の数をdとする。a，b，c，d の平均値をP，bd – ac の値をQとするとき，Q=24Pとなることを確かめてみよう。

［Sさんのグループが作った問題］で，Q=24Pとなることを証明せよ。

解答 ： [証明]
bをaを用いて表すと、bはaより12大きい数なので、b=a+12。同様に、dもcより12大きいので、d=c+12と表せる。
まず、Pはa、b、c、d の平均値なので、{a+(a+12)+c+(c+12)}÷4=(2a+12+2c+12)÷4=(2a+2c+24)/4=(a+c+12)/2　となる。よって、P=(2a+2c+24)/4。
次に24Pは、(2a+2c+24)/4×24なので、(2a+2c+24)×6=12a+12c+144　となり、24P=12a+12c+144。…①
また、Qはbd-acなので、(a+12)×(c+12)-ac=ac+12a+12c+144-ac=12a+12c+144　となり、Q=12a+12c+144　である。…②
①、②より、Q=12a+12c+144=24P　となる。よって、Q=24Pである。[証明終]

解説 ：
・数字がa、b、c、dと多いので、cをaを使って、dをcを使って表し、aとcの2種類の文字で表すところがポイントになっている。 例えば2の点に向かい合う点は14、10の点に向かい合う点は22なので、どちらも小さい数字に12を足すと、向き合う大きい点の数になることがわかる。

[証明]
bをaを用いて表すと、bはaより12大きい数なので、b=a+12。同様に、dもcより12大きいので、d=c+12と表せる。

まず、Pはa、b、c、d の平均値なので、{a+(a+12)+c+(c+12)}÷4=(2a+12+2c+12)÷4=(2a+2c+24)/4=(a+c+12)/2　となる。
よって、P=(2a+2c+24)/4。
次に24Pは、(2a+2c+24)/4×24なので、(2a+2c+24)×6=12a+12c+144　となり、24P=12a+12c+144。…①
また、Qはbd-acなので、(a+12)×(c+12)-ac=ac+12a+12c+144-ac=12a+12c+144　となり、Q=12a+12c+144　である。…②
①、②より、Q=12a+12c+144=24P　となる。よって、Q=24Pである。[証明終]

■大問３

（問１）右の図1で，点Oは原点，点Aの座標は(0, -4)であり、直線ℓは一次関数y=1/2x+3のグラフを表している。
直線ℓとx軸との交点をBとする。直線ℓ上にある点をPとし，2点A，Ｐを通る直線をmとする。
次の各問に答えよ。

点Pのy座標が-1のとき，点Pのx座標を，次のア〜エのうちから選び，記号で答えよ。

ア -8　イ -9/2　ウ -2　エ 5/2

解答 ：ウ

解説 ： 点Bの座標は、グラフより(-6, 0)と読み取れる。
この点が点Ｐと一致するということは、点Pは直線ℓ上にあって、且つ直線mも通る点なので、直線mは(-6, 0)を通ることがわかる。

直線mは、グラフより切片が-4と読み取れるので、ここから y=ax-4　とおくことができる。またこの直線は、(-6, 0)を通るので代入して、0=a×(-6)-4　→0=-6a-4　→6a=-4　→6a×1/6=-4×1/6　→a=-4/6　→a=-2/3　よって、直線mの傾きは-2/3となる。

以上より、直線mの式は、y=-2/3x-4　となる。よって、選択肢ウが正しい。

（問２）点Pが点Bに一致するとき，直線mの式を，次のア〜エのうちから選び，記号で答えよ。

ア y=-3/2x-4　イ y=-3/2-6　ウ y=-2/3x-4　エ y=-2/3x-6

解答 ： ウ

解説 ： 点Bの座標は、グラフより(-6, 0)と読み取れる。
この点が点Ｐと一致するということは、点Pは直線ℓ上にあって、且つ直線mも通る点なので、直線mは(-6, 0)を通ることがわかる。
直線mは、グラフより切片が-4と読み取れるので、ここから y=ax-4　とおくことができる。またこの直線は、(-6, 0)を通るので代入して、0=a×(-6)-4　→0=-6a-4　→6a=-4　→6a×1/6=-4×1/6　→a=-4/6　→a=-2/3　よって、直線mの傾きは-2/3となる。
以上より、直線mの式は、y=-2/3x-4　となる。よって、選択肢ウが正しい。

（問３）右の図2は，図1において，点Pのx座標が正の数のとき，x軸上にありx座標が点Pのx座標と等しい点をQとし，点Aと点B，点Aと点Q，点Pと点Qをそれぞれ結んだ場合を表している。
△APBの面積が△AQPの面積の2倍になるとき，点Pのx座標を求めよ。

解答 ： 7

解説 ： まず、点Pのx座標をtとおく。

点Pは直線ℓ上の点なので、点Pのy座標は直線ℓに代入することで求められる。直線ℓの式であるy=1/2x+3にx=tを代入して、y=1/2t+3　となり、点Pの座標は(t, 1/2t+3)とわかる。

次に△APBの面積は、y軸の部分で左右に分けた面積を足し合わせることで求められる。
△APB=(7×6×1/2)+(7×t×1/2)=21+7/2t
△AQPの面積は、PQを底辺として、PQからy軸までの長さを高さとして求められる。
△AQP=(1/2t+3)×t×1/2=1/4t²+3/2t

問題文より、△APBの面積は△AQPの面積の2倍になるので、△APB=△AQP×2　という関係の式を作ることができる。
よって、△APB=△AQP×2　→21+7/2t=(1/4t²+3/2t)×2　→21+7/2t=1/2t²+3t　→(21+7/2t)×2=(1/2t²+3t)×2　→42+7t=t²+6t　→t²-t-42=0　→(t-7)(t+6)=0　→t=-6, 7　したがって、t=-6, 7　
問題文より、点Pのx座標は正の数とあるので、t＞0より、t=-6は不適。よって、t=7。
以上より、点Pのx座標は7とわかる。

■大問４

（問１）右の図1で，点Oは線分ABを直径とする半円の中心である。点Pは，線分OA上にある点で，点O，点Aのいずれにも一致しない。点Qは，弧AB上にある点で，点A，点Bのいずれにも一致しない。点Rは，弧BQ上にある点で，点B，点Qのいずれにも一致しない。点Aと点Q，点Aと点R，点Bと点Q，点Pと点Rをそれぞれ結ぶ。
次の各問に答えよ。

図1において，AQ=BQ，∠QAR=20°，∠ARP=a°とするとき，∠BPRの大きさを表す式を，次のア〜エのうちから選び，記号で答えよ。

ア (a+20)度　イ (a+25)度　ウ (155-a)度　エ (160-a)度

解答 ： イ

解説 ： 問題文より、AQ=BQなので、△ABQは二等辺三角形であることがわかる。
円の定理より、半円を弧とする円周角は90°なので、∠AQB=90°とわかる。よって、∠AQB+∠QAB+∠QBA=180°　→90°+∠QAB+∠QBA=180°　→∠QAB+∠QBA=180°-90°　→∠QAB+∠QBA=90°　となる。また、△ABQは二等辺三角形なので、∠QAB=45°と求められる。また問題文より、∠QAR=20°なので、∠RAP=∠QAB-∠QAR=45°-20°=25°　したがって、∠RAP=25°とわかる。

求めたい∠BPRは△APRの外角であり、「外角の定理」より三角形の1つの外角は隣り合わない2つの内角の和に等しいので、
∠BPR=∠RAP+∠ARP　と表せる。問題文より∠ARP=a°であり、先に求めた∠RAP=25°とを使って、∠BPR=∠RAP+∠ARP=25°+a°　よって、∠BPR=(a+25)度とわかる。したがって、選択肢イが正答。

（問２）① 右の図2は，図1において，AP=AQ，弧BR=弧QRのとき，点Qと点Rを結んだ場合を表している。次の①，②に答えよ。

△APR≡△AQRであることを証明せよ。

解答 ：
[証明]　
△APRと△AQRについて、
　共通な辺なので、　AR=AR　…(a)
　仮定より、　AP=AQ　…(b)
　同じく仮定から弧BR=弧QRであり、
　等しい弧に対する円周角は等しいので、
　　　　　　　∠PAR=∠QAR　…(c)
(a)~(c)より、
　2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、
　△APR ≡ △AQR　である。　　　　　　　　　　[証明終]

解説 ：
[証明]



△APRと△AQRについて、
　共通な辺なので、　AR=AR　…(a)
　仮定より、　AP=AQ　…(b)
　同じく仮定から弧BR=弧QRであり、
　等しい弧に対する円周角は等しいので、
　　　　　　　∠PAR=∠QAR　…(c)
(a)~(c)より、
　2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、
　△APR ≡ △AQR　である。　　　　　　　　　　[証明終]

（問２）② 次の[　　]の中の「う」「え」に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。


図2において，線分ARと線分BQとの交点をS，点Oと点Rを結び，線分BQと線分ORとの交点をTとした場合を考える。
AP=2OPのとき，△RSTの面積は，四角形AORQの面積の[ う ] / [ え ]倍である。

解答 ： う：1 え：5

解説 ： まずは、問題文と図から分かることを整理する。

AP=2POなので、AP：PO=2：1　…(ⅰ)
△OARについて、辺OAと辺ORはどちらも円Oの半径なので、OA=ORとわかる。…(ⅱ)
(ⅱ)より、△OARは二等辺三角形であり、2つの底角は等しくなるので、∠OAR=∠ORA。…(ⅲ)
円周角の定理より、半径からなる円周角は90°なので、∠BQA=90°。…(ⅳ)

①で証明した△APR ≡ △AQRより、合同な三角形の対応する角は等しいので∠QAR=∠OARとわかる。(ⅲ)より∠OAR=∠ORAであることも踏まえると、∠QAR=∠OAR=∠ORAであり、∠QAR=∠ORAといえる。この2つの角は錯角であり、AQ//ROとわかる。



次に△BAQと△BOTについて、∠QBA=∠TBO…(a)
AQ//ROより同位角は等しいので、(d)も踏まえて、∠BQA=∠BTO…(b)
(a)(b)より、2組の角がそれぞれ等しいので、△BAQ∽△BOT
BOは円Oの半径、BAは直径なので、BO：BA=1：2
相似な三角形の対応する辺の比は等しいので、TO：QA=1：2
(ⅰ)(ⅱ)より、AP：PO=2：1で、且つOA=ORなので、RT：TO=2：1。
また、QA：RT=2：2=1：1とわかる。よって、QA=RTである。…(ⅴ)

△BAQ∽△BOTより、∠BQT=∠BTOである。また、対頂角は等しいので、∠BTO=∠STR。したがって、∠BQT=∠BTO=∠STRであり、∠SQA=∠STR。…(ⅵ)

△ASQと△RSTにおいて、(ⅴ)、(ⅵ)と∠QAS=∠TRSより、1組の辺とその両端の角が等しいので、△ASQ≡△RSTといえる。合同な三角形の対応する辺は等しいので、QS：ST=1：1、RS：SA=1：1とわかる。


△RSTの面積をxとおく。
すると、△RQSは△RSTと底辺の比が等しく、高さも等しいので、△RQSの面積も同様にxである。また、△ASQ≡△RSTなので、△ASQの面積も同様にxと考えられる。加えて、△ATSと△RSQにおいて、SQ=ST、SR=SA、対頂角より∠QSR=∠TSAより、2組の辺とその間の角が等しいので、△ATS≡△RSQである。よって、△ATSの面積もxとわかる。

次に、△TAOと△RATに着目する。
この2つの三角形は高さは等しく、底辺のOTとTRの比はOT：TR=1：2なので、面積の比も1：2である。△RATは△RSTと△ATSの和なので、面積は2xであり、よって、△TAOの面積はxだと考えられる。
したがって、四角形AORQの中には面積がxの三角形の5つ分であり、これは四角形AORQの面積は△RSTの面積の5倍ということである。以上より、△RSTの面積は，四角形AORQの面積の1/5とわかる。よって、[ う ]は1、[ え ]は5が適当である。

■大問５

（１）右の図1に示した立体ABCD-EFGHは，AB=AD=6cm，AE=4cmの直方体である。頂点Aと頂点Cを結び，線分AC上にある点をPとする。頂点Hと点Pを結ぶ。
次の各問に答えよ。

次の[　　]の中の「お」「か」に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。

図1において，頂点Dと点P，頂点Eと点Pをそれぞれ結んだ場合を考える。
点Pが線分ACの中点のとき，立体P-AEHDの体積は，[ おか ]cm³である。

解答 ： お：2 か：4

解説 ：立体P-AEHDの底面を、面AEHDとして考える。

点Pは辺ACの中点なので、辺ADから点Pまでの高さは辺BAの長さの半分と等しくなる。よって、面AEHDを立体P-AEHDの底面として考えたとき、この立体の高さは6÷2=3　となり、3cmとわかる。
よって、立体P-AEHDの体積は、6×4×3×1/3=24
したがって、24cm³とわかり、[ お ]は2、[ か ]は4が正答である。

（２）次の[　　]の中の「き」「く」「け」に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。

右の図2は，図1において，頂点Fと頂点H，頂点Fと点Pをそれぞれ結んだ場合を表している。
AP : PC=5:1のとき，△FPHの面積は，[ きく ]√[ け ]cm²である。

解答 ： き：1　く：2　け：3

解説 ： 問題文よりAP：PC=5：1なので、線分ACの中点をOとおくと、AO：OP：PC=3：2：1となる。
線分ACと線分OPの長さの比はAC：OP=6：2=3：1である。
線分ACは三平方の定理を使って、AC²=AD²+DC²と表せる。よって、AC²=6²+6²=36+36=72　AC=±√72=±6√2　AC＞0より、AC=6√2cmとわかる。AC：OP=3：1なので、6√2：OP=3：1　→3OP=6√2　→3OP×1/3=6√2×1/3　→OP=2√2cm　となる。

次に、点Oから面EFGHに下した垂線と面EFGHとの交点を点Qとおく。
△OQPに着目して、三平方の定理を使って、PQ²=OP²+OQ²と式を立てられる。PQ²=(2√2)²+4²=8+16=24　PQ=±2√6　PQ＞0なので、PQ=2√6cm。

△PHFの底辺はHFであり、これはACと等しいので、HF=6√2cm。
よって、△PHF=HF×PQ×1/2=6√2×2√6×1/2=6√12=12√3cm³。
したがって、[ き ]は1、[ く ]は2、[ け ]は3が正答となる。