令和7年度_学力検査問題過去問【福岡】- 数学の解説

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■目次　

■大問１

１-（１）：5−2×(−7) を計算しなさい 。

解答 ： 19

解説 ： ※かけ算から解いていきます。
5-2×(-7)
=5+14
=19

１-（２）：3(a+b)−(a−4b) を計算しなさい 。

解答 ： 2a+7b

解説 ： 3(a+b)−(a−4b)
=3a+3b-a+4b
=2a+7b

１-（３）：a=4,b=−5 のとき、9a²b÷(−3a) の値を求めなさい。

解答 ： 60

解説 ： まず、与えられた式 9a²b÷(−3a) を簡略化します。
[9a²b]/[−3a]
=-3ab・・・①
①にa=4,b=−5 を代入します。
3×4×-5=-60

１-（４）：√48-6/√3を計算しなさい 。

解答 ： 2√3

解説 ： 6/√3を有利化すると、
6/√3=[6√3]/3=2√3 となります。
√48=√[2×2×2×2×3]=4√3なので
4√3-2√3=2√3

１-（５）：9a²−25b²を因数分解しなさい 。

解答 ：(3a+5b)(3a-5b)

解説 ： この式は、平方の差の公式 x²−y²=(x−y)(x+y) を使って因数分解できます。

まず、9a²−25b²を平方の形に変形します。
9a²は (3a)²と表せます。
25b²は (5b)²と表せます。
これらの結果を平方の差の公式に当てはめます。
x を 3a に、y を 5b に置き換えます。
(3a)²−(5b)²=(3a−5b)(3a+5b)

１-（６）：関数y=2x²について、x の変域が −1≤x≤2 のとき、y の変域を求めなさい 。

解答 ： 0≦y≦8

解説 ： 関数 y=2x²は、原点 (0,0) を頂点とする下に凸の放物線です。
x の変域 −1≤x≤2 の中に、頂点の x 座標である x=0 が含まれています。したがって、y の最小値は x=0 のときになります。
x=0 を式に代入すると、y=2×0²=0 となります。
よって、最小値は 0 です。

放物線は頂点から離れるほど y の値が大きくなります。x の変域 −1≤x≤2 の中で、頂点 x=0 から最も遠いのは、絶対値が最も大きい x の値です。
−1=1
2=2
2 の方が −1よりも大きいため、x=2 のときに y の値が最大になります。
x=2 を式に代入すると、y=2×2²=2×4=8 となります。
よって、最大値は 8 です。
これらのことから、y の変域は最小値0から最大値8までとなり、0≤y≤8 となります。

１-（７）：関数 y=−3/xのグラフをかきなさい 。

解答 ：

解説 ： 関数 y=−3/xのグラフは、反比例のグラフで、原点を中心に対称な 双曲線になります。x>0 の範囲では第2象限に、x<0 の範囲では第4象限に位置します。x=-3,-1,1,3をy=-3/xの式に代入してそれぞれのyの値を求めます。
x=−3 のとき: y=1
x=−1 のとき: y=3
x=1 のとき: y=−3
x=3 のとき: y=−1これらの点 (−3,1), (−1,3), (1,−3), (3,−1) を座標平面上にプロットし、それぞれ滑らかな曲線で結ぶと、グラフが完成します。

１-（８）：1から6までの目が出る2つのさいころA、Bを同時に投げる 。さいころAの出る目を十の位の数、さいころBの出る目を一の位の数としてできる2桁の自然数が4の倍数になる確率を求めなさい 。
ただし、さいころはどの目が出ることも同様に確からしいとする。

解答 ：1/4

解説 ： サイコロAとサイコロBを同時に投げるとき、それぞれのサイコロの目の出方は6通りずつあります。
したがって、できる2桁の自然数の総数は、6×6=36 通りです。
2桁の自然数が4の倍数になるには、下2桁が4の倍数である必要があります。
この問題では、サイコロAの出る目を十の位、サイコロBの出る目を一の位とします。
サイコロの目は1から6なので、できる2桁の自然数を小さい順に考えていきます。
[12, 16,24, 32, 36,44,52, 56,64]
これらの組み合わせは全部で 9通り です。

確率は、「特定の事象が起こる場合の数」を「全ての場合の数」で割ることで求められます。
・特定の事象：2桁の自然数が4の倍数になる
・全ての場合：2桁の自然数ができる全ての出方
したがって、求める確率は以下のようになります。
9/36=1/4

１-（９）： 白の碁石だけがたくさん入っている袋がある 。この袋に白の碁石と同じ大きさの黒の碁石を50個入れてよくかき混ぜ、この袋から30個の碁石を無作為に抽出したところ、黒の碁石は6個であった 。この袋に入っている白の碁石の個数は、およそ何個と推定できるか答えなさい 。

解答 ： およそ200個

解説 ： 黒の碁石を50個入れた後の袋には、
白の碁石：x個、黒の碁石：50個とします。このとき、袋の中の白の碁石と黒の碁石の数の比は、x:50 です。

無作為に抽出した30個の碁石のうち、黒の碁石が6個でした。
抽出した白の碁石の数：30−6=24個
抽出した黒の碁石の数：6個
この標本における白の碁石と黒の碁石の数の比は、24:6=4:1 です。

母集団の比率と標本の比率はほぼ等しいと考えることができます。したがって、以下の比の式が成り立ちます。
x:50=24:6
これを解くと、
6x=50×24
6x=1200
x= 1200/6
​x=200
この結果から、袋に入っている白の碁石の個数は、およそ200個と推定できます。

■大問２

２-（１）： 希さんは、K中学校の1年生、2年生、3年生のそれぞれの生徒を対象に、1日あたりの睡眠時間について調査した。
表は、K中学校の各学年のデータをそれぞれ度数分布表に生理したものである。
図は、K中学校の各学年のデータをそれ箱ひげ図に表したものである。


次の⑴～⑶に答えなさい。
⑴表において、各学年のデータの最頻値のうち、データの最頻値が最も大きい学年と、その学年の最頻値を求めなさい 。

解答 ： 学年 1年生　最頻値 8.5時間

解説 ： 最頻値とは、最も度数の多い階級の階級値のことです。それぞれの学年で最も度数が多い階級と、その階級値を求めます。
1年生:最も度数が多いのは 23人 で、これは「8時間以上9時間未満」の階級です。
この階級の階級値は (8+9)÷2=8.5時間 です。
2年生:最も度数が多いのは 18人 で、これは「7時間以上8時間未満」の階級です。
この階級の階級値は (7+8)÷2=7.5時間 です。
3年生:最も度数が多いのは 37人 で、これは「7時間以上8時間未満」の階級です。
この階級の階級値は (7+8)÷2=7.5時間 です。
これらの最頻値を比較すると、1年生の 8.5時間 が最も大きい値となります。

２-（２）：表や図から読み取れることとして正しいものを、次のア～エからすべて選び、記号で答えなさい 。
ア. K中学校で、睡眠時間が最も短い生徒は、2年生の中にいる 。
イ. 1年生において、睡眠時間が最も長い生徒と最も短い生徒で、5時間以上の差がある 。
ウ. 1年生と2年生において、睡眠時間が9.5時間以上の生徒の人数は、2年生の方が1年生より多い 。
エ. 3年生の生徒の睡眠時間を短い順に並べたとき、21番目の生徒の睡眠時間は、6.5時間である 。

解答 ： ア、エ

解説 ：
ア. 図の箱ひげ図を見ると、2年生のひげの左端が、他の学年よりも左にあります。これは、2年生の中に最も睡眠時間が短い生徒がいることを示しています。
イ. 図を見ると、1年生の睡眠時間の範囲は、およそ5.5時間から10.5時間です。その差は 10.5−5.5=5時間なので、「5時間以上」とは断定できません。
ウ. 表を見ると、1年生で9.5時間以上の生徒は 19+7=26人。2年生で9.5時間以上の生徒は 10+2=12人。1年生の方が人数が多いため、この記述は誤りです。
エ. 表の3年生のデータを短い順に足すと、5時間以上6時間未満：8人。6時間以上7時間未満：19人。合わせて 8+19=27人です。21番目の生徒は、この27人の中に含まれており、「6時間以上7時間未満」の階級にいます。
図の箱ひげ図を見ると、3年生の箱の左端（第1四分位数）が6.5時間です。第1四分位数は、データを短い順に並べたとき、全体の25%にあたる生徒の値です。3年生の総数は83人なので、その25%は 83×0.25=20.75、つまり21番目の生徒にあたります。したがって、21番目の生徒の睡眠時間は6.5時間です。

２-（３）：表をもとに、睡眠時間が7時間未満の生徒の割合が最も大きいのはどの学年であるかを、累積相対度数を用いて説明しなさい 。累積相対度数は四捨五入して小数第2位まで求めなさい 。

解答 ： （例）睡眠時間が7時間未満の生徒の割合について、１年生、２年生、３年生のそれぞれの累積相対度数を四捨五入して小数第2位まで求めると、
１年生が、11/79だから0.14
２年生が、19/66だから、0.29
３年生が、27/83だから、0.33
0.33>0.29>0.14なので、睡眠時間が７時間未満の生徒の割合が最も大きいのは、３年生である。

解説 ： 睡眠時間が7時間未満の生徒の割合を、各学年で累積相対度数を使って比較します。
考え方①：各学年の累積度数を計算する
睡眠時間が「5時間以上6時間未満」と「6時間以上7時間未満」の階級の度数を合計します。
1年生：3+8=11人
2年生：4+15=19人
3年生：8+19=27人

考え方②：各学年の累積相対度数を計算する
累積度数を、それぞれの学年の合計人数で割って、小数第2位まで四捨五入します。
1年生：11/79 =0.139…→0.14
2年生： 19/66=0.287…→0.29
3年生： 27/83=0.325…→0.33

考え方③：比較と結論
1年生の累積相対度数は0.14（14%）
2年生の累積相対度数は0.29（29%）
3年生の累積相対度数は0.33（33%）
この結果から、睡眠時間が7時間未満の生徒の割合が最も大きいのは、3年生であることがわかります。

■大問３

３-（１）：A「2をひく」、B「2倍する」、C「2乗する」、D「はじめの数をひく」という計算方法が かかれた4個の玉A, B, C. Dが袋に入っている。
この袋の中の玉を使って、次の手順によって、計算結果を求める。

手順
① 袋の中から玉を1個ずつ3回続けて取り出し、取り出した順に左から並べる。ただし、取り出した玉は袋にもどさない。
② はじめの数を1つ決める。
③ はじめの数に対して、左の玉にかかれた計算を行う。
④ ③で求めた数に対して、真ん中の玉にかかれた計算を行う。
⑤ ④で求めた数に対して、右の玉にかかれた計算を行う。

図は、例えば、玉がA、B、Cの順に並んだ場合、はじめの数が1のとき、計算結果は 4になることを表している。
図

下の会話文は、明さんと光さんが、手順によって、計算結果を求め、はじめの数、玉の 並び方、計算結果の関係について話し合った内容の一部である。

明さん：玉がA、B、Cの順に並んだ場合、はじめの数が5のとき、計算結果は(P) になるよ。
光さん：そうだね。はじめの数は5のままで、玉がB, A, Cの順に並んだ場合、 計算結果は64になるので、はじめの数は変えずに、玉の並び方が変わると、 計算結果は変わりそうだね。
明さん：他にも、玉はB, A, Cの順に並んだままで、はじめの数を3に変えると、 計算結果は16になるよ。このことから、玉の並び方が変わらずに、はじめの数を 変えると、計算結果は変わりそうだね。
光さん：でも、調べてみたら、はじめの数をどんな数に変えても、計算結果が常に同じ数に なる玉の並び方があるかもしれないよ。
明さん：どんな並び方かな。文字式を使って調べてみようよ。

次の⑴～⑷に答えなさい。

⑴手順①において、玉の並び方は全部で何通りあるか求めなさい。

解答 ： 24通り

解説 ： この問題は、4個の玉（A, B, C, D）から3個を選んで順に並べる場合の数を求める、順列の問題です。
1番目: 袋の中には4個の玉があるので、1番目の玉の選び方は4通りです。
2番目: 1個取り出した後は、袋の中には3個の玉が残ります。そのため、2番目の玉の選び方は3通りです。
3番目: 2個取り出した後は、袋の中には2個の玉が残ります。そのため、3番目の玉の選び方は2通りです。
したがって、玉の並び方の総数は、
4×3×2=24
よって、玉の並び方は全部で24通りとなります。

３-（２）：⑵(P)にあてはまる数を求めなさい。また、玉がA、B、Dの順に並んだ場合、計算結果が10になるときの、はじめの数を求めなさい。

解答 ： ℗ 36　はじめの数 14

解説 ： (P)の計算
はじめの数が5で、玉の並びがA, B, Cの順の場合の計算結果を求めます。
A「2をひく」：5−2=3
B「2倍する」：3×2=6
C「2乗する」：6²=36
したがって、計算結果は36となります。

はじめの数の計算 玉がA, B, Dの順に並び、計算結果が10になる場合、はじめの数をxとして計算式を立てます。
A「2をひく」：x−2
B「2倍する」：(x−2)×2=2x−4
D「はじめの数をひく」：(2x−4)−x=x−4
この計算結果が10になるので、
x−4=10
x=10+4
x=14
したがって、はじめの数は14となります。

３-（３）：(3) 明さんと光さんが、下線部について調べた結果、玉の並び方にはいずれもDが ふくまれていることがわかった。その並び方のうち、真ん中の玉がDのときの玉の並び方 と計算結果について、次のようにまとめた。

まとめ 真ん中の玉がDのとき、はじめの数をどんな数に変えても計算結果が常に同じ数 になる玉の並び方と、そのときの計算結果の組み合わせは、次の2通りである。
Ⅰ 玉がア,D,イの順に並んだ場合、計算結果は常に(Q)になる。
Ⅱ 玉がウ,D,エ の順に並んだ場合、計算結果は常に (R)になる。

ア～エにあてはまる記号を、それぞれA、B、Cから選んでかきなさい。 また、(Q), (R) にあてはまる数を求めなさい。

解答 ： ア A　イ B　Ⓠ -4 ウ A　エ C　® 4

解説 ： [ア, D, イ の並び方（A, D, B）の場合]
A「2をひく」：はじめの数 x から2を引くので、x−2 となります。
D「はじめの数をひく」：1で求めた数 x−2 から、はじめの数 x を引くので、(x−2)−x=−2 となります。ここでxが消えるため、この後の計算結果ははじめの数に関係なく一定になります。
B「2倍する」：2で求めた数 −2 を2倍するので、−2×2=−4 となります。
したがって、玉の並び方がA, D, Bのとき、計算結果は常に-4になります。

[ウ, D, エ の並び方（A, D, C）の場合]
A「2をひく」：はじめの数 x から2を引くので、x−2 となります。
D「はじめの数をひく」：1で求めた数 x−2 から、はじめの数 x を引くので、(x−2)−x=−2 となります。ここでもxが消え、後の計算結果は一定になります。
C「2乗する」：2で求めた数 −2 を2乗するので、(−2)²=4 となります。
したがって、玉の並び方がA, D, Cのとき、計算結果は常に4になります。

３-（４）：(4) 玉がA. C. Bの順に並んだ場合と、玉がB. C. Aの順に並んだ場合について、 はじめの数が同じ数で、それぞれの計算結果が等しくなるときの、はじめの数を全て求めなさい。

解答 ： -5,1

解説 ： [玉がA, C, Bの順の場合]
A「2をひく」: x−2
C「2乗する」: (x−2)²=x²−4x+4
B「2倍する」: 2(x²−4x+4)=2x²−8x+8

[玉がB, C, Aの順の場合]
B「2倍する」: 2x
C「2乗する」: (2x)²=4x²
A「2をひく」: 4x²−2

両方の計算結果を等しいと置きます。
2x²−8x+8=4x²−2
この方程式を解くと
0=4x²−2x²+8x−2−8
0=2x²+8x−10
両辺を2で割ります。
0=x²+4x−5
この2次方程式を因数分解します。
(x+5)(x−1)=0
したがって、解は x=−5 と x=1 です。

■大問４

４-（１）： A駅、B駅、C駅がこの順に一直線の線路上にあり、A駅からB駅までは4800m. A駅から C駅までは7200m離れている。電車Pは、午前8時にA駅を出発し、B駅に向かって 一定の速さで12分間進み、B駅に到着した。B駅で3分間停車した後、B駅からC駅まで 分速480mで進み、午前8時20分にC駅に到着した。
図は、午前8時からx分後に電車PがA駅からym離れているとするとき、午前8時から 午前8時20分までのxとyの関係をグラフに表したものである。
図
br> 次の(1)~(4)に答えなさい。br> br> (1) 電車PがA駅から3000m離れているのは、電車PがA駅を出発してから何分何秒後か求めなさい。

解答 ： 7分30秒後

解説 ： グラフから、電車PはA駅からB駅まで12分で4800m進んでいることがわかります。
速さ = 距離 ÷ 時間
速さ = 4800m ÷ 12分 = 400m/分
この区間では、分速400mで進んでいます。
電車PがA駅を出発してから3000m進むのにかかる時間をx分とします。
時間 = 距離 ÷ 速さ
x = 3000m ÷ 400m/分 = 7.5分
7.5分は7分と0.5分です。
0.5分を秒に直すと、
0.5×60=30秒
したがって、7.5分は 7分30秒 となります。

４-（２）： (2) 次のア~エの表のうち、電車Pの午前8時16分から午前8時18分までのxとyの関係を正しく表したものが1つある。それを選び、記号をかきなさい。
選択肢

解答 ： エ

解説 ： B駅からC駅までの速さは問題文より、分速480mです。
グラフから、B駅はA駅から4800m離れていることがわかります。
各時刻のA駅からの距離を計算します。
・x=16分：B駅を出発してから1分後です。
4800m+(480m/分×1分)=4800+480=5280m
・x=17分：B駅を出発してから2分後です。
4800m+(480m/分×2分)=4800+960=5760m
・x=18分：B駅を出発してから3分後です。
4800m+(480m/分×3分)=4800+1440=6240m

この計算結果は、エの内容と一致します。

４-（３）：(3) 電車Qは、午前8時4分にA駅を出発し、A駅からC駅まで一定の速さで進む。 電車Qは、電車PがB駅に到着した後にB駅を通過し、電車Pより早くC駅に到着した。 このときの電車Qの速さについて、次のようにまとめた。

まとめ
電車Qの速さは、分速アmより速く、分速 イmより遅い。 ただし、アは、あてはまる数のうち最も小さい数、イはあてはまる数のうち最も大きい数である。

ア、イにあてはまる数を求めなさい。

解答 ： ア 450 イ 600

解説 ： 電車Qは、電車PがB駅に到着した後にB駅を通過したことより、電車PがA駅からB駅までかかる時間は12分なので電車PがB駅に到着したのは、午前8時12分です。
電車QがB駅を通過する時刻は、午前8時12分より後なので、
電車Qは午前8時4分に出発しており、B駅までの4800mを進むのにかかる時間は、12−4=8分より長い必要があります。
したがって、電車Qの速さをvとすると、
4800/v>8となり、v<600m/分となります。

電車Qは、電車Pより早くC駅に到着したことより、電車PがC駅に到着したのは、午前8時20分なので電車QがC駅に到着する時刻は、午前8時20分より前です。
電車Qは午前8時4分に出発しているので、C駅までの7200mを進むのにかかる時間は、20−4=16分より短い必要があります。
したがって、電車Qの速さをvとすると、
7200/v<16となり、v>450m/分となります。

上記の2つの条件から、電車Qの速さvは、450
アは、あてはまる数のうち最も小さい数なので、450
イは、あてはまる数のうち最も大きい数なので、600

４-（４）：(4) 電車Rは、午前8時14分にC駅を出発し、A駅に向かって一定の速さで進み、B駅と C駅の間で電車Pとすれちがい、午前8時24分にA駅とB駅の間で、A駅から4000m 離れている地点を通過する。
このとき、電車Rが電車Pとすれちがったのは、午前8時何分何秒か求めなさい。

解答 ： 8:17:36

解説 ： [電車Ｒの速さを求めます。]
電車Rは、午前8時14分にC駅を出発しています。
午前8時24分に、A駅から4000mの地点を通過しこの地点は、C駅から 7200−4000=3200m 離れているので、3200mを進むのにかかった時間は、
24−14=10分です。
したがって、電車Rの速さは 3200m÷10分=320m/分 です。
[すれ違う時刻を求めます。]
すれ違うのは、電車PがB駅を出発した午前8時15分以降で、この時刻からt分後にすれ違うとすると
電車Pは、B駅（4800m地点）からC駅に向かって 480×tm 進むと表せます。
電車Rは、午前8時14分に出発しているので、午前8時15分からは (t+1)分進んでいます。C駅（7200m地点）からA駅に向かって 320(t+1)m 進みます。
A駅からの距離が等しくなるので、
4800+480t=7200−320(t+1)
この式を解くと、t=2.6分となります。
2.6分は「2分36秒」なので、すれ違う時刻は午前8時15分にこれを足して、午前8時17分36秒です。

■大問５

５-（１）：円Oの円周上に5点A,B,C,D,Eをとり、五角形ABCDEをつくります 。
図1は五角形ABCDEにおいて、点Bと点Eを結び、BE//CDとなる場合を表しています 。
図1

次の⑴～⑶に答えなさい。

(1) 図2は図1において、五角形ABCDEが正五角形となる場合を表しており、点Aと点Cを結び、線分ACと線分BEの交点をGとしたものである。
このとき、∠AGEの大きさを求めなさい 。
図2

解答 ： 72

解説 ： [正五角形の角度を調べる]
正五角形の内角はすべて108°です。
正五角形は円に内接するので、それぞれの頂点の間にある円弧の長さは等しくなります。
したがって、同じ長さの円弧に対する円周角も等しくなります。
弧BCに対する円周角は∠BAC、弧CDに対する円周角は∠CAD…など、すべて等しく、その大きさは 180 ÷5=36°となります。

[△BCGの角度を求める]
求めたい∠AGEの対頂角である∠BGCの大きさを考えます。
△BCGにおいて、∠GBCは内角∠ABCから∠ABEを引いた角度です。
∠ABCは正五角形の内角なので108°です。
∠ABEは、弧AEに対する円周角で、弧ABと弧BCに対する円周角と同じ36°です。
したがって、∠GBC = ∠ABC – ∠ABE = 108 – 36= 72°となります。
もう一つの角、∠GCBは、∠BCAと同じ36°です。
よって、∠BGC = 180 – (72+ 36) = 180-108 = 72°となります。

[∠AGEの大きさを求める]
∠AGEと∠BGCは対頂角なので、その大きさは等しくなります。
∠AGE=∠BGC=72° 図

５-（２）：(2) 図3は、図1において点AとC、AとD、CとEを結び、線分BEとAC,ADの交点をそれぞれP,Qとし、線分ADとCEの交点をRとしたものです 。
図3において、△ABP∼△ADEであることを証明しなさい 。
図3

解答 ： （例）△ABP と △ADE において
弧AEに対する円周角は等しいので、
∠ABP=∠ADE ・・・①
弧BCに対する円周角は等しいので、
∠PAB=∠BEC ・・・②
平行線の錯角は等しいので、 BE//CD より、
∠BEC=∠ECD ・・・③
弧DEに対する円周角は等しいので、
∠ECD=∠EAD ・・・④
②、③、④より、
∠PAB=∠EAD・・・⑤
①、⑤より、2組の角がそれぞれ等しいので、
△ABP∼△ADE

解説 ： ※模範解答と同様の為省略。

５-（３）：(3) 図4は、図3において、∠EAD=30°、AP:PC=3:2、線分ACが円Oの直径となる場合を表しています 。
図4において、AE=6cmのとき、円Oの直径を求めなさい 。
図4

解答 ： 2√21cm

解説 ： 半円の弧に対する円周角で、∠AEC=∠ADC＝90°
∠EAD=30°より、∠ARE=60°
弧ＤＥに対する円周角で、∠ECD=30°
BE//CDの錯角で∠REQ=30°

△EQRも△AQEは、直角三角形（三角定規）なので、
三平方の定理
より、
AE:QE:AQ=2:1:√3=6:QE:AQ
QE=3cm,AQ=3√3cm
QE:QR=2:1=3:QR
QR=√3cm

△APQ∽△ACDよりAQ:QD=3:2だから、
3√3:QD=3:2
QD=2√3cm
RはQDの中点となるので、QR=RD=√3cm

△CDRと△EQRは１辺両端角相等で合同なので、
CD=3
△ACDで三平方の定理より、
[AC]²=[CD]²+[AD]²
[AC]²=3²+[5√3]²
[AC]²=9+75
[AC]²=84
AC＝2√21cm（円の直径）

■大問６

６-（１）：図1は、底面ABCがAB=4cm、BC=3cm、∠ABC=90°の直角三角形で、側面がすべて長方形の三角柱ABCDEFを表しており、AD=6cmです 。
図1

次の⑴～⑶に答えなさい。

(1) 図1に示す三角柱の展開図として正しいものを、ア～エから選びなさい 。
選択肢

解答 ： ウ

解説 ： 底面である天井と床の直角三角形は反対側にあるのでイ～エを選びます。
イとエでは、２つの底面の直角三角形が対応していないので間違いです。
ウの図を見ると、底面の直角三角形の辺の長さが3cmと4cmで対応しているのでウが適切です。

６-（２）：⑵図1に示す三角柱において辺AB上に点Pを、AP=1cmとなるようにとり、辺CF上に点Qをとる。
PQ=5cmのとき、三角錐QABCの体積を求めなさい。

解答 ： 2√7cm³

解説 ： AB=4cm,AP=1cmより、PB=3cmとなります。
PCに補助線をひくと、△PBCで三平方の定理より
PB:BC:PC=1:1:√2=3:3:PC
PC=3√2cm。
△PCQで三平方の定理より、QC=√7cm。
よって、三角錐QABCの体積は4×3÷2×√7×1/3=2√7cm³
図

６-（３）：⑶図2は、図1に示す三角柱において、辺DEの中点をMとし、点Mと点A、点Mと点Cを結んだものである。線分MC上に点Kを、KC=ACとなるようにとり、線分MA上に点Lを、LK//ACとなるようにとる。
このとき、△LAKの面積は、△MACの面積の何倍か求めなさい。
図2

解答 ： 10/49倍

解説 ： 解いていくポイントは、MCを対角線とする直方体に注目すると、
MC=√(2²+3²+6²)=7cm。

KC=AC=5cmより、
MK=7-5=2cm。
△MACの面積を1とすると、△LAKの面積は、1×2/7×5/7=10/49。
つまり、△LAKは△MACの10/49倍。