2025年度三重学力検査問題過去問【数学】

■問題PDF　

■目次　

■大問１

あとの各問いに答えなさい

1-1: 7 – (-2) を計算しなさい。

解答 ： 9

解説 ： 7-(-2)=7+2=9

1-2: (4x + 5) + (x – 7)を計算しなさい。

解答 ： 5x-2

解説 ： (4x+5)+(x-7)=4x+5+x-7=5x-2

1-3:8xy²×6x÷3x²yを計算しなさい。

解答 ： 16y

解説 ： 8xy²×6x÷3x²y=48x²y²÷3x²y=16y

1-4:xについての方程式3x – 2a = 8 + 5xの解がx = -8であるとき、aの値を求めなさい。

解答 ： a=4

解説 ： 3x-2a=8+5x
-2a=5x-3x+8
-2a=2x+8
a=-x-4
x=-8を代入します。
a=-(-8)-4=8-4=4

1-5:x² – 7x – 8を因数分解しなさい。

解答 ： (x+1)(x-8)

解説 ： x² + (a+b)x + ab = (x+a)(x+b)の公式を使って解くことができます。
x²-7x-8=(x+1)(x-8)

1-6: (2√2 – √3)(√2 + 2√3)を計算しなさい。

解答 ： -2+3√6

解説 ： (2√2-√3)(√2+2√3)=2√2×√2+2√2×2√3-√3×√2-√3×2√3=4+4√6-√6-6=-2+3√6

1-7:二次方程式 3x² + x – 5 = 0を解きなさい。

解答 ： x=-1±√61/6

解説 ： 3x²+x-5=0
解の公式を使って解きます。

a=3,b=1,c=-5を解の公式に代入する。
x=-1±√61/6

1-8:yはxに反比例し、x = -6のとき、y = 1である。このとき、yをxの式で表しなさい。

解答 ： y=-6/x

解説 ： 反比例の式は、定数をaとすると、y=a/xとなります。
x=-6とy=1を代入すると、1=a/-6となり、a=-6となります。
a=-6をy=a/xの式に代入します。
y=-6/x

1-9:直線 y = 2x + 2と直線y = -x + 6の交点の座標を求めなさい。

解答 ： (4/3,14/3)

解説 ： 二つの式の右辺どうしをイコールで結ぶと、2x+2=-x+6となります。
これをxについて解くと、
2x+x=6-2
3x=4
x=4/3となります。
これを、y=-x+6の式に代入します。
y=-4/3+6
y=14/3
したがって、交点の座標は、(4/3,14/3)です。

1-10:右の図は、28個の卵について、1個ずつ重さをはかり、その結果をヒストグラムに表したものである。例えば、重さが57g以上58g未満の卵は3個あったことがわかる。このとき、右の図のヒストグラムについて、最頻値を求めなさい。

解答 ： 60.5g

解説 ： 一番高い棒の、横軸の真ん中の値が最頻値です。
今回は 60から61 の間にある棒が一番高いので、60と61の真ん中の60.5gが最頻値です。

1-11:(11) 右の図のような△ABCにおいて、辺BC上に点DをとったときAD = BD = CDとなった。△ACB = 35°のとき、∠xの大きさを求めなさい。

解答 ： ∠x=55°

解説 ： △ADCに注目すると、AD = CDなので、△ADCは二等辺三角形です。二等辺三角形の底角は等しいので、∠DAC =∠DCA = 35°とわかります。
三角形の外角は、それと隣り合わない2つの内角の和に等しいというルールがあります。∠ADB = 35°+ 35°= 70°となります。
△ABDに注目すると、AD = BDなので、△ABDも二等辺三角形です。よって、底角である∠xと ∠BADは同じ大きさです。三角形の内角の和は180°なので、∠x + ∠x + 70° = 180°
2x = 110°
x = 55°

1-12:次の図で、△ABCの2つの頂点B, Cを通る円のうち、中心が∠ABCの二等分線上にある円を、定規とコンパスを用いて作図しなさい。なお、作図に用いた線は消さずに残しておきなさい。

解答 ：

解説 ： ☆作図の手順
1.角の二等分線を引く：頂点Bにコンパスの針を置き、辺ABとBCに交わるように弧をかきます。それぞれの交点からさらに弧をかき、その交点と頂点Bを結ぶ直線を引きます。
2.辺BCの垂直二等分線を引く：点Bと点Cに交互にコンパスの針を置き、同じ半径で上下に弧をかきます。2つの交点を結ぶ直線を引きます。
3.円をかく：「角の二等分線」と「垂直二等分線」が交わったところに針を置き、点B（または点C）に鉛筆を合わせて円をかきます。

■大問２

右の図は、A組40人、B組39人、C組38人の生徒がそれぞれ解いた、30点満点のクイズの得点の結果を、箱ひげ図に表したものである。このとき、あとの各問いについて、右の箱ひげ図から読みとり答えなさい。ただし、得点は整数とする。

2-1:B組の第3四分位数を求めなさい。

解答 ： 23点

解説 ： B組の箱の上側の線の目盛りがB組の第三四分位数です。

2-2:四分位範囲が最も大きい組の、中央値を求めなさい。

解答 ： 16点

解説 ： 「四分位範囲」が最も大きい組を探す 四分位範囲とは、「箱の長さ（第3四分位数 － 第1四分位数）」のことです。 図7の箱の長さを比べると、以下のようになります。
・A組: 13点から21点まで（長さ 8）
・B組: 15点から23点まで（長さ 8）
・C組: 13点から22点まで（長さ 9） したがって、四分位範囲が最も大きいのは C組 です。

C組の「中央値」を読み取る 中央値は、箱の中にある「横線」の位置を見ます。 C組の箱の中の線は、縦軸の 16 の位置にあります。

図から読みとれることとして、次の①～③は、「正しい」、「正しくない」、「図からはわからない」のどれか、下のア～ウから最も適切なものをそれぞれ1つ選び、その記号を書きなさい。

2-3①:データの範囲が最も大きい組は、A組である。 [ア. 正しい　イ. 正しくない　ウ. 図からはわからない]

解答 ： ア

解説 ： 「範囲」は「最大値 － 最小値」です。図のひげの長さ（全体の横幅）を見ると、A組が最も広く、数値でも計算（25 – 6 = 19）した通り最大となっているため正しいです。

2-3②:C組には、14点以下の生徒が11人以上いる。 [ア. 正しい　イ. 正しくない　ウ. 図からはわからない]

解答 ： ウ

解説 ： C組の第1四分位数は「13点」です。
13点以下の人数は、計算上「下から10番目」付近となります。
14点という数値は、第1四分位数（13点）と中央値（16点）の間にあります。
この「箱」の中のデータの散らばり具合（14点の人が何人いるかなど）は箱ひげ図からは読み取れないため、「11人以上いる」と断定することはできません。

2-3③:A組、B組、C組のどの組にも20点以上の生徒が10人以上いる。 [ア. 正しい　イ. 正しくない　ウ. 図からはわからない]

解答 ： ア

解説 ： 第3四分位数の位置を確認します。
・A組： 第3四分位数が21点。上位25%が21点以上なので、20点以上は確実に10人以上います。
・B組： 第3四分位数が23点。上位10人程度が23点以上なので、20点以上は10人以上います。
・C組： 第3四分位数が22点。上位約10人が22点以上なので、20点以上は10人以上います。
全員、20点より高い位置に第3四分位数の線があるため、正しいといえます。

■大問３

大小2つのさいころを同時に1回投げるとき、次の〈ルール〉にしたがって得点を決めるものとする。
〈ルール〉
出た目の数の和が3の倍数のとき、出た目の数の和を得点とする。
出た目の数の和が3の倍数でないとき、出た目の数の和に1をたした数を得点とする。
このとき、あとの各問いに答えなさい。ただし、さいころの目の出方は、1, 2, 3, 4, 5, 6の6通りであり、どの目が出ることもし同様に確からしいものとする。

3-1:得点が6点になる確率を求めなさい。

解答 ： 1/4

解説 ： 大小2つのさいころを投げるとき、すべての出方は6×6 =36通りです。
・和が3の倍数のとき
「和がそのまま得点」になるので、和が6 の場合を探します。
(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1) の 5通り。
・和が3の倍数でないとき
「和に1をたした数」が得点になるので、和が5 の場合を探します。
(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) の 4通り。
したがって、得点が6点になるのは、5+4=9通り。
よって、求める確率は、9/36=1/4です。

3-2:得点がa点になる確率が1/12であるとき、aの値をすべて求めなさい。

解答 ： a=3,5,11,12

解説 ： ・得点が「5点」になる場合
ルールより、和が「4」のとき得点は5点になります。和が4になるのは (1,3), (2,2), (3,1) の 3通り です。
・得点が「11点」になる場合
ルールより、和が「10」のとき得点は11点になります。和が10になるのは (4,6), (5,5), (6,4) の 3通り です。
・得点が「3点」になる場合
和が「2」のとき：得点は 3点→ 1通り (1,1)
和が「3」のとき：得点は 3点→ 2通り (1,2), (2,1)
よって、合わせて3通りです。
・得点が「12点」になる場合
和が「11」のとき：得点は 12点→ 2通り (5,6), (6,5)
和が「12」のとき：得点は 12点→ 1通り (6,6)
合わせて3通りです。
したがって、a=3,5,11,12

■大問４

次の〈問題〉について、あとの各問いに答えなさい。

〈問題〉 あるレジャー施設の2月の来場者数は子どもと大人あわせて9000人だった。3月の来場者数は、2月と比べて、子どもは10%増え、大人は5%減ったので、あわせて300人増えて9300人になった。3月の子どもの来場者数と、3月の大人の来場者数を、それぞれ求めなさい。

下は、かずまさんとあんなさんが、〈問題〉を解くために、それぞれの考え方で連立方程式に表したものである。

〈かずまさんの考え方〉2月の子どもの来場者数をx人、2月の大人の来場者数をy人とすると、
x + y = 9000
①= 9300
と表すことができる。
〈あんなさんの考え方〉2月の子どもの来場者数をx人、2月の大人の来場者数をy人とすると、
x + y = 9000
②= 300
と表すことができる。

4-1:上の ①、② に、それぞれあてはまる適切な文字式を書き入れなさい。

解答 ： ①110/100x+95/100y
②10/100x-5/100y

解説 ： ①かずまさんは、3月の合計人数が 9300人 になったことに注目して式を作っています。
子ども： 2月のx人に、増えた10%を足して 110% になったと考えます。式では110/100xとなります。
大人： 2月のy人から、減った5%を引いて 95% になったと考えます。式では95/100yとなります。
この2つを足すと、3月の全人数の9300人になります。
したがって、①の式は110/100x+95/100y

②増えたり減ったりした「人数」だけで考えるあんなさんは、2月と比べて合計で 300人増えた という「変化」だけに注目して式を作っています。子どもの変化：x人の10%が増えたので、プラスの分は10/100x人です。大人の変化：y人の5%が減ったので、マイナスの分は5/100y人です。この「増えた分」と「減った分」を合わせると、結果的に300人増えたことになります。したがって、②の式は10/100x-5/100y

4-2:3月の子どもの来場者数と、3月の大人の来場者数を、それぞれ求めなさい。

解答 ： 3月の子供の来場者数：5500人
3月の大人の来場者数：3800人

解説 ： 問題文の最初に「2月の来場者数は子どもと大人あわせて9000人だった」とあります。子どもをx人、大人をy人と決めたので、x + y = 9000という式ができあがります。これとあんなさんの考え方の10/100x-5/100y=300を連立方程式で解いていきます。
x=5000,y=4000
問題で聞かれているのは3月の人数です。
3月の子ども：2月の5000人から10%増えたので、5000 + 500 =5500人
3月の大人：2月の4000人から5%減ったので、4000 – 200 =3800人

■大問５

次の図のように、関数y=1/4x² ･･･アのグラフ上に2点A、Bがあり、点Aの x座標が-4, 点Bのx座標が2である。このとき、あとの各問いに答えなさい。ただし、原点をOとし、座標軸の1目もりを1cmとする。

5-1:点Bの座標を求めなさい。

解答 ： B(2,1)

解説 ： 点Bは、関数y=1/4x²のグラフ上にある点です。
x=2をy=1/4x²の式に代入します。
y=1/4×2²=1

5-2:関数アについて、xの変域が-4≦x≦2のときのyの変域を求めなさい。

解答 ： 0≦y≦4

解説 ： グラフを見ると、原点O(0, 0)を通る「下に凸」の形をしています。この形の場合、yの最小値は必ず0になります。
・x=-4のとき：y=1/4×(-4)²=4
・x=2のとき：y=1
したがって、一番高いところ(最大値)はx=-4で、y=4のときです。

5-3:2点A、Bを通る直線の式を求めなさい。

解答 ： y=-1/2x+2

解説 ： 2点それぞれの座標を確認します。
点A（-4,4）、点B（2,1）
これにより変化の割合を求めます。
変化の割合=1-4/2-(-4)=-3/6=-1/2
y=-1/2x+bに点B（2,1）を代入してbを求めます。
1=-1/2×2+b
1=-1+b
b=2
したがって、y=-1/2x+2

5-4:原点Oから線分ABに垂線をひき、線分ABとの交点をHとする。線分OHの長さを求めなさい。

解答 ： 4√5/5cm

解説 ： ☆ポイント☆ 三角形OABの面積を利用します。

線分ABをy軸で左右に分けて面積を計算します。(3)で求めた直線の式y=-1/2x+2より、y軸との交点は(0, 2)です。
・左側の三角形の面積：2×4÷2=4
・右側の三角形の面積：2×2÷2=2
よって、三角形OABの面積は、4+2=6



三平方の定理を使って線分ABの長さを求めます。
AB²=6²+3²=36+9=45
AB=√45=3√5



三角形の面積より、
1/2×3√5×OH=6
OH=4√5/5

■大問６

右の図のように、点A, B, C, D, E, F, G, Hを頂点とする、1辺の長さが4cmの立方体がある。線分AB, AD上にAM=AN=2cmとなる点M, Nをとり、6点A, M, N, E, F, Hを結んで立体Pをつくる。このとき、あとの各問いに答えなさい。

6-1:四角形 MFHNの面積を求めなさい。

解答 ： 18cm²

解説 ： 辺AMと辺FHの長さを出します。
・MN：△AMNはAM=AN=2cm、∠MAN=90°の直角二等辺三角形です。三平方の定理より、MN=2√2cmです。
・FH：△EFHはEF=EH=4cm、∠FEH=90°の直角二等辺三角形です。三平方の定理より、FH=4√2cm です。
次に台形の横の辺の長さを出します。
点Mから真下の辺FBに垂線を下ろすと、高さ4cm、横2cmの直角三角形がイメージできます。MF²=4²+2²=16+4=20
MF=√20=2√5cm
台形MFHNを平面で考えると、上底の中点をS、下底の中点をTとすると、線分STがこの台形の高さになります。下底FHの中心から端までの長さは2√2、上底MNの中心から端までは√2です。この差は2√2-√2=√2です。高さSTを三平方の定理で出します。
ST²= (MF)²-(√2)²ST²=(2√5)²-2=20-2=18ST=√18=3√2cm
台形の面積の公式を使う。
(2√2+4√2)×3√2÷2=6√2×3√2÷2=18×2÷2=18

6-2:立体Pの体積を求めなさい。

解答 ： 56/3cm³

解説 ： 三角錐O-EFHとなるように上側に点Oを書く。
三角錐O-AMN∽三角錐O-EFHの相似比はAM：EF=1:2なので、OA=4cmとなります。
体積比は相似比の三乗なので、三角錐O-AMN：三角錐O-EFH=①:⑧
立体Pの体積比は⑦なので、三角錐O-AMNの体積を7倍します。
・三角錐O-AMNの体積：2×2÷2×4÷3=8/3
8/3×7=56/3cm³

■大問７

次の図のように、∠ABC<90°の△ABCと、3点A, B, Cを通る円Oがある。∠ABCの二等分線と線分AC, 円Oとの交点をそれぞれD, Eとし、線分AEをひく。点Eを通り線分CBに平行な直線と線分AC, 線分AB, 円Oとの交点をそれぞれF, G, Hとし、線分AHと線分BHをひく。このとき、あとの各問いに答えなさい。ただし、点Eは点Bと異なる点、点Hは点Eと異なる点とする。

7-1:△AHB≡△AFEであることを証明しなさい。

解答 ： 〈証明〉
△AHBと△AFEにおいて、
弧AHに対する円周角は等しいから、
∠ABH=∠AEF…①
∠BHに対する円周角は等しいから、
∠BAH=∠BEH…②
HE//BCより、平行線の錯角は等しいから、
∠BEH=∠CBE…③
弧CEに対する円周角は等しいから、
∠CBE=∠EAF…④
②,③,④より、
∠BAH=∠EAF…⑤
①,⑤より、
2組の角がそれぞれ等しいから、
△AHB∽△AFE

解説 ： ☆証明のポイント☆
△AHB≡△AFEを証明するためには、「辺AB = AE」、「∠ABH=∠AEF」、「∠BAH=∠FAE」の3つが等しいことを説明していくのが一番スムーズです。

AB=7cm, BC=5cm, GH=3cmのとき、次の各問いに答えなさい。

7-2①:線分EGの長さを求めなさい。

解答 ： 4cm

解説 ：

図より、△GAHは二等辺三角形なので、辺AG=辺GH=3cm
辺GB=7-3=4cm
△GBEも二等辺三角形なので、辺EG=辺GB=4cm

7-2②:線分FDと線分DCの長さの比を、最も簡単な整数の比で表しなさい。

解答 ： 線分FD:線分DC=13:35

解説 ： △AGF∽△ABCより、GF:BC=3:7より、GF:5cm=3:7
GF=15/7cm



FE=4-15/7=13/7cm
△EFD∽△BCDより、FD:DC=13/7:5=13:35