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令和7年度_学力検査問題過去問【長野】- 数学
■目次
大問１
大問２
大問３
大問４
■大問１
各問いに答えなさい。
1-1:5+(-4) を計算しなさい。
解答 ： 1
解説 ： カッコを外して計算し、5 – 4 = 1 となります。
1-2:2x+3+2(3x+1) を計算しなさい。
解答 ： 8x + 5
解説 ： 文字式の計算です。分配法則を使って括弧を外します。
2x + 3 + 6x + 2 = 8x + 5
1-3:連立方程式
3x+7y=8
x+2y=2
を解きなさい。
解答 ： x = -2, y = 2
解説 ： 下の式の2yを左辺に移項して x = 2 – 2y と変形し、上の式に代入する。
3(2 – 2y) + 7y = 8
6 – 6y + 7y = 8
y = 2
これより x = 2 – 4 = -2 となります。
1-4:√(9-a) の値が自然数となるような自然数 a を、すべて求めなさい。
解答 ： 5,8
解説 ： ルートの中身 (9-a) は正で、ルートが外れて自然数になるにはルートの中身が平方数(自然数の二乗)になる必要があります。 あとはaに1から8 (9を代入するとa=0となり、０は自然数でないため不適) までの自然数を代入して平方数になるか確認する。 a = 8: 9 – a = 9 – 8 = 1 = 1^2 a = 5: 9 – a = 9 – 5 = 4 =2^2 よって a = 5, 8 です。
1-5:二次方程式 2x^2+3x-1=0 を解きなさい。
解答 ： x = (-3 ± √17) / 4
解説 ： 解の公式 x = {-b ± √(b^2 – 4ac)} / 2a を利用します。
a=2, b=3, c=-1 を代入すると、
x = {-3 ± √(9 – 4×2×(-1))} / 4
x = {-3 ± √(9 + 8)} / 4 = (-3 ± √17) / 4
1-6:(6) 正の整数 a を 7 で割ったときの商を b、余りを c とする。このとき、a、b、c の関係を表した等式として正しいものを、次のア~エから1つ選び、記号を書きなさい。
ア a/7 = b+c
イ a = 7b+c
ウ 7a = b+c
エ (a+c)/7 = b
解答 ： イ
解説 ： 割り算の等式関係は「(割られる数) ＝ (割る数) × (商) ＋ (余り)」で表されます。
よって a = 7 × b + c となります。
1-7:関数 y=-3x^2 について、x の変域が -2 ≦ x ≦ 1 のとき、y の変域を求めなさい。
解答 ： -12 ≦ y ≦ 0
解説 ： y=-3x^2は上に凸のグラフであり、xの変域に0 を含むため、最大値は x=0 のとき y=0 です。
最小値は原点から遠い x=-2 のときで、y = -3 × (-2)^2 = -12 となります。よって -12 ≦ y ≦ 0 です。
1-8:y は x に反比例し、x=2 のとき y=-2 である。この x と y の関係を表すグラフは、どの形で表されるか、次のア~オから1つ選び、記号を書きなさい。
解答 ： エ
解説 ： 反比例の式は y = a/x です。
x=2, y=-2 を代入すると -2 = a/2 より a = -4 です。
比例定数が負なので、グラフは第2象限と第4象限にある双曲線となります。選択肢の形状から適切な双曲線（エ）を選びます。
1-9:図1において、点A、B、Cは円Oの円周上の点である。このとき、∠x（∠OBC）の大きさ を求めなさい。
解答 ： 50°
解説 ： 円周角の定理より、中心角 ∠BOC = 2 × 円周角∠BAC = 80° です。
△OBC は OB=OC（半径）の二等辺三角形なので、底角 = (180° – 80°) ÷ 2 = 50° です。
1-10:(10) 図2のように、直線 ℓ 上に2点O、Pがある。点Oを回転の中心として、点Pを時計まわりに 30° だけ回転移動させた点Qを、定規とコンパスを使って作図しなさい。ただし、点Qを表す文字Qも書き、作図に用いた線は消さないこと。
解答 ：
解説 ： 1. 点Oを中心として点Pを通る円を描きます。
2. 線分OPを一辺とする正三角形OPRを作図し、∠POR = 60° の角を作ります。
3. その ∠POR = 60° の角の二等分線を作図して 30° を得ます。
4. その二等分線と円との交点をQとします。
1-11:2つのさいころを同時に投げるとき、出る目の数の積が12になる確率を求めなさい。ただし、どの目の出方も同様に確からしいものとする。
解答 ： 1/9
解説 ： 目の積が12になる組み合わせは (2, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 2) の4通りです。
全体は 6 × 6 = 36 通りなので、確率は 4/36 = 1/9 です。
1-12:ある中学校では、年に3回、地域でのボランティア活動が行われている。表は、1年生全員の、ボランティア活動に参加した回数の調査結果をまとめたものであるが、一部が消えてしまった。回数が3回の生徒数を求めなさい。
解答 ： 12 (人)
解説 ： 相対度数の合計は 1.00 なので、3回の相対度数は 1.00 – (0.15 + 0.40 + 0.25) = 0.20 です。
0回のデータより、全生徒数は 9 ÷ 0.15 = 60 人です。
3回の生徒数は 60 × 0.20 = 12 人となります。
■大問２
各問いに答えなさい。
I 花さんと優さんは、2人で生徒会企画の「紙飛行機チャレンジ」に出場しようと考えている。2人は、自作の紙飛行機A、Bのうち、どちらを使うか検討するため、それぞれ25回飛ばし、飛距離を測定した。表は、A、Bそれぞれの測定結果について、まとめたものである。また、図1は、A、Bそれぞれの測定結果について、箱ひげ図に表したものである。
生徒会企画「紙飛行機チャレンジ」
・同じ発射台を用いて、1チーム1回、自作の紙飛行機を飛ばす。
・発射台から、着地した紙飛行機の先端までの長さを飛距離とする。
・最も飛距離が長いチームを優勝とする。
2-I-1:表の「あ」に当てはまる数を書きなさい
解答 ： 340
解説 ： 範囲 ＝ 最大値 － 最小値 です。
460 = 800 – 「あ」 より、「あ」 = 800 – 460 = 340 となります。
2-I-2:花さんは、表と図1からわかることを次の文にまとめた。「い」、「う」に当てはまる言葉の組み合わせとして最も適切なものを、下のア~エから1つ選び、記号を書きなさい。
「四分位範囲は、Aの方がBより『い』。このことから、散らばりの程度は、Aの方がBより『う』といえる。」
ア い 大きい う 大きい
イ い 大きい う 小さい
ウ い 小さい う 大きい
エ い 小さい う 小さい
解答 ： エ
解説 ： 四分位範囲は箱ひげ図の「箱の長さ」です。図1よりAの箱の方が短いため、「い」は「小さい」です。
四分位範囲が小さいほどデータの散らばりは小さいといえるため、「う」も「小さい」となります。
2-I-3:優さんは、表と図1から、Bを「紙飛行機チャレンジ」に使おうと考え、その理由を次のようにまとめた。優さんがまとめたことが正しくなるように、「え」、「お」に当てはまる最も適切なものを、下のア~オから1つずつ選び、記号を書きなさい。
[優さんがまとめたこと]
Bの中央値とAの第3四分位数をくらべると、「え」の方が小さい。Bの中央値である683cmを基準にすると、それ以上飛んだ回数が、Bは13回以上あり、Aは最大でも「お」回である。このことから、Bの方が飛距離が長い傾向にあるので、Bを使うとよいと考える。
〔ア Bの中央値 イ Aの第3四分位数 ウ 5 エ 6 オ 7〕
解答 ： え：イ
お：エ
解説 ： え：図1よりAの第3四分位数（箱の右端）は約650cm、Bの中央値は683cmなので、小さいのは「Aの第3四分位数（イ）」です。
お：Aの第3四分位数が683cmより小さいということは、683cmを超えているデータは最大でも上位25%（第4区間）に含まれるものだけです。全データ25回の25%は6.25回なので、最大でも「6回（エ）」となります。
II 海さんは、1122のように千の位と百の位が同じ数で、十の位と一の位が同じ数の4けたの正の整数について、どのような性質があるか考えた。海さんは、いくつかの数について調べたことから、次のように予想した。
[海さんの予想]
1122 = 11 × 102、5533 = 「か」 × 「き」 であるので、1122、5533は11×整数になっている。
このことから、千の位と百の位が同じ数で、十の位と一の位が同じ数の4けたの正の整数は、① いつも11の倍数になる。
2-II-1:海さんの予想が成り立つように、「か」、「き」に当てはまる最も適切な数を書きなさい。
解答 ： か：11
き：503
解説 ： 5533 ÷ 11 = 503 なので、5533 = 11 × 503 となります。
2-II-2:
解答 ：
解説 ：
2-II-3:下線部①が正しいことは、文字式を使って、11×整数の形に表すことで次のように説明できる。[ ]に続きを書き、正しい説明を完成させなさい。
「4けたの正の整数の千の位と百の位の数を a、十の位と一の位の数を b とすると、この数は、1000a+100a+10b+b と表される。
この式をまとめると、
1000a + 100a + 10b + b =
したがって、千の位と百の位が同じ数で、十の位と一の位が同じ数の4けたの正の整数は、11の倍数である。」
解答 ： (例) 1000a + 100a + 10b + b = 1100a + 11b = 11(100a + b) 100a+b は整数だから、11(100a+b) は11の倍数である。
解説 ： 与えられた式を計算して同類項をまとめると 1100a + 11b となります。これを 11 でくくると 11(100a + b) となり、11の倍数であることが示せます。
III 図2のように、立方体Pと正四角錐Qがある。P、Qともにすべての辺の長さは12cmである。陸さんと緑さんは、PとQの体積をくらべたとき、どのようなことがいえるか、会話をしている。
会話文
陸：Qの体積は、Pの体積の 1/3 だね。
緑：Qの体積は、Pの体積の 1/3 より小さいのではないかな。なぜなら、② Qの高さは、12cmより「く」からだよ。Qにおいて、底面と交わる4つの辺が、底面に「け」ではないからね。
陸：そうか。だから、Qの体積は、Pの体積の 1/3 より小さいんだね。
2-III-1:下線部②が正しくなるように、「く」、「け」に当てはまる適切な言葉を、それぞれ書きなさい。
解答 ： く：(例) 小さい
け：(例) 垂直
解説 ： 正四角錐Qの高さは、斜辺（側面の辺12cm）よりも必ず短くなるため「小さい」です。その理由は、側面の辺が底面に対して「垂直」に立っているわけではなく斜めになっているからです。
2-III-2:体積がPの体積の 1/3 と等しい正四角錐Rをつくる。Rの底面が1辺12cmの正方形であるとき、ほかの1辺の長さを求めなさい。
解答 ： 6√6 (cm)
解説 ： Pの体積 = 12^3。Rの体積はその 1/3 なので (1/3) × 12^3 = 576。Rの高さをhとすると、Rの体積 = (1/3) × 底面積(144) × 高さh = 48h。48h = (1/3) × 12^3 = 576 より、高さ h = 12cm。よってRは高さ12cm、底面の一辺12cmの正四角錐です。
底面の対角線の半分は 6√2 なので、三平方の定理より側面の稜の長さ L は、L = √(12^2 + (6√2)^2) = √(144 + 72) = √216 = 6√6 cm です。
■大問３
各問いに答えなさい。
I 晴さんは、水筒に入れたお湯の温度が、時間にともなってどのように変化していくのか興味をもち、調べた。水筒にお湯を入れてから x 時間後のお湯の温度を y ℃として、x と y の関係を表にまとめた。表で、対応する x と y の値の組を座標とする点をとると、図1のようになった。
晴さんは、図1から、次のように考えた。
[晴さんの考え1]
図1の5つの点が、ほぼ「あ」上に並んでいるので、y は x の一次関数とみることができる。
3-I-1:晴さんの考え1が正しくなるように、「あ」に当てはまる適切な言葉を書きなさい。
解答 ： 一直線
解説 ： データの点が一直線上に並ぶ傾向があるとき、一次関数で近似できるとみなせます。
晴さんは、4時間を超えてもお湯の温度が同じように変化を続けると考え、水筒にお湯を入れてから6時間後のお湯の温度を次のように求めた。
[晴さんの考え2]
一次関数のグラフが2点 (0, 90)、(4, 74) を通るとすると、傾きは「い」となる。また、この2点を通る一次関数の式は「う」となる。この式を用いて6時間後のお湯の温度を求めると、「え」℃になると推測できる。
3-I-2:晴さんの考え2が正しくなるように、「い」、「え」には当てはまる適切な数を、「う」には当てはまる適切な式を、それぞれ書きなさい。
解答 ： い：-4
う：y = -4x + 90
え：66 (°C)
解説 ： 傾き = (yの増加量) / (xの増加量) = (74-90) / (4-0) = -16 / 4 = -4 です。
切片は (0, 90) より 90 なので、式は y = -4x + 90 です。
6時間後は x=6 を代入し、y = -4(6) + 90 = -24 + 90 = 66 となります。
3-I-3:(3) 晴さんは、朝、水筒に入れたお湯が、5時間後の昼食時に、飲み頃だと感じる50.0℃になるようにしたいと考えた。朝、水筒に入れるときのお湯の温度を何℃にすればよいかを、グラフ、式を用いて求める方法は、それぞれ次のように説明できる。「お」と「か」に続きを書き、正しい説明を完成させなさい。ただし、お湯の温度は、晴さんの考え2と同じ割合で下がるものとし、実際にお湯の温度を求める必要はない。
[グラフを用いて求める方法]
図1に点(5, 50)をとり、この点を通る傾き「い」の一次関数のグラフをかく。
「お」
[式を用いて求める方法]
一次関数の式を y = ax + b とする。
a =「い」を代入する。
「か」
解答 ： お：(例) かいた直線の切片の値を読みとる。
か：(例) x=5, y=50 を代入して、b の値を求める。
解説 ： お: 傾きは一定で、直線になるので、グラフ上y軸と交わる切片を読み取る。
か: 一次関数の式 y = ax + b に x = 5, y = 50 を代入して a, b を求める。
II 図2のように、関数 y=(1/2)x^2 のグラフ上に y 座標が4である点Aをとる。x 軸上に点Pをとり、点Pを通り y 軸に平行な直線を ℓ とし、ℓ と直線OAの交点をQ、ℓ と関数 y=(1/2)x^2 のグラフの交点をRとする。ただし、原点Oから点 (1,0) までの距離、および原点Oから点 (0,1) までの距離はそれぞれ1cmとする。
3-II-1:点Pの x の値が変化するにつれて、点Q、Rの y の値がどのように変化するかについて、次のようにまとめた。「き」に当てはまる最も適切なものを、下のア~エから1つ選び、記号を書きなさい。
点Pについて、x の値が2倍、3倍、4倍、……となるとき、
点Qの y の値は、2倍、3倍、4倍、……となり、
点Rの y の値は、「き」となる。
ア 2倍、3倍、4倍、……
イ 2倍、4倍、6倍、……
ウ 4倍、9倍、16倍、……
エ 8倍、27倍、64倍、……
解答 ： エ
解説 ： 点Qは原点を通る直線（比例）上にあるため、x が n 倍になれば y も n 倍になります。点Rは y=ax^2（二次関数）上にあるため、x が n 倍になると y は n^2 倍になります。
3-II-2:点Pの x 座標が6のとき、QRの長さを求めなさい。
解答 ： 6 (cm)
解説 ： 点Aはx=4 のより、 y=(1/2)×16=8、 A(4, 8)。直線OAは y = ax の比例の式に代入して y=2x。
Pのx座標が6のとき、y = 2x 上の点Qは、x = 6 を代入し、Q(6, 12)。また、Rはy=(1/2)x^2上で x = 6 を代入しR(6, 18)。
以上よりQR = PR – PQ = 18 – 12 = 6 cm。
3-II-3:点Pの x 座標が正の数で、PQ=QR のとき、点Pの x 座標を求めなさい。
解答 ： 8
解説 ： Pのx座標を t とすると、(2)と同じように代入して、Q(t, 2t)、R(t, (1/2)t^2)。よってPQ = 2t。QR = (1/2)t^2 – 2t。
PQ=QR より 2t = (1/2)t^2 – 2t。(1/2)t^2 – 4t = 0、 t(t-8)=0、よって t = 0, 8。
Pのx座標は正、すなわちt>0 より t=8。
3-II-4:2点A、Pを通る直線の傾きが 1/2 となるとき、点Rの座標を求めなさい。
解答 ： (-12, 72)
解説 ： Aの座標は (4, 8)。直線APの傾きが 1/2 なので、式は y – 8 = (1/2)(x – 4) 、 y = (1/2)x + 6。
点Pはx軸上(y=0)なので 0 = (1/2)x + 6 、 x = -12。
点RはPと同じx座標(-12)を持ち、放物線上にあるので、y = (1/2)(-12)^2 = 72。よって R(-12, 72)。
■大問４
各問いに答えなさい。
I 夏さんは、図1のように幅4cmのリボンを重ね、リボンが重なった部分に着目した。
図2は、数学の作図ソフトを使い、リボンを長方形㋐、長方形㋑として表したものである。このとき、2つの長方形が重なる部分の図形を、四角形ABCDとする。ただし、リボンの幅を長方形の短い辺として、辺の長さを4cmで固定する。また、リボンの長さを長方形の長い辺として、辺の長さは自由に変えられるものとする。
4-I-1:夏さんは、図2の四角形ABCDは平行四辺形になると予想し、この予想が成り立つことを、次のように説明した。説明が正しくなるように、[ ]に当てはまる適切な言葉を書きなさい。
[説明]
㋐、㋑は長方形だから、四角形ABCDで、「平行四辺形になるための条件」である「[ ] がそれぞれ平行であるとき」がいえる。したがって、四角形ABCDは平行四辺形である。
解答 ： (例) 2組の向かいあう辺
解説 ： 四角形が平行四辺形になるための条件は主に5つあり
「2組の向かい合う辺がそれぞれ平行」
「2組の向かい合う辺の長さが等しい」
「2組の向かい合う角の大きさがそれぞれ等しい」
「対角線がそれぞれの中点で交わる」
「1組の向かい合う辺が平行で、その長さが等しい」
図3は、図2において、∠ABC=45° としたものである。
4-I-2①:∠BAD の大きさを求めなさい。
解答 ： 135°
解説 ： AからBCへ垂線をおろし、その交点をEとすれば、△ABDは二等辺三角形であり、∠BAE= 45°。また、∠EADはEがAからBCへの垂線だったので90°。よって、∠BAD = ∠BAE + ∠EAD= 45° + 90° = 135°
4-I-2②:四角形ABCDの面積を求めなさい。
解答 ： 16√2 (cm²)
解説 ： テープの幅は4cmなので、AE = 4。また、三平方の定理から、AB = 4√2。平行四辺形の向かい合う辺の長さは等しく、AB = DC = 4√2。ここで、AからCDへの垂線をおろし、その交点をFとすれば、AFもテープの幅と同じなので4cmとなる。よって、△ACDの面積は、4 × 4√2 × (1/2) = 8√2。△ABCも同様に8√2。以上より四角形ABCD = 8√2 + 8√2 = 16√2
4-II-1: △ABE ∽ △PCEを証明しなさい。
解答 ： (証明例)
△ABEと△PCEで、
対頂角は等しいから、
∠AEB = ∠PEC …①
長方形「イ」の向かいあう辺はそれぞれ平行だからAB//PCであり、平行線の錯角は等しいから
∠BAE = ∠CPE …②
①、②から、2組の角が、それぞれ等しいので、△ABE ∽ △PCE
夏さんは、△ABE ≡ △PCE となるのはどのようなときか調べた。図5は、図4において、㋑を、点Aを回転の中心として、△ABE ≡ △PCE となるように回転させたものである。
4-II-2①: ∠BAE の大きさを求めなさい。
解答 ： 30°
解説 ： △ABE ≡ △PCEより、PE = AE、BE = CE、AB = CP。向かい合う辺ABとPCが並行で長さが等しいため四角形ABPCは平行四辺形。また、四角形AEFGは長方形で∠PEB = ∠AEC = ∠PEC = ∠AEB = 90°。平行四辺形ABPCは対角線が中点で90°で交わるため、菱形であることがわかる。よって、AB = BP = PC= CA となる。また、平行四辺形ABCDも菱形であり、AB = BC = CD = DA。よって、△ABCは正三角形であり、AEは∠BACの二等分線。よって、正三角形の一つの角は60°で、その半分なので∠BAE = 30°。
4-II-2②:PDの長さを求めなさい。
解答 ： (16√3)/3 (cm)
解説 ： ∠PAD = 90°の直角△PADに着目し、AEはリボンの幅と同じで4cmなので、PEも同じく4cm。また、△ACDも正三角形より、∠ADC = 60°。以上より、△PADはPA : AD : PD = √3 : 1 : 2。よってPA : PD = √3 : 2、8 : PD = √3 : 2、PD = (16√3)/3
4-II-3:図6は、図4において、㋑を、点Aを回転の中心として、点Cと点Fが重なるように回転させたものである。このとき、BE : ECを求め、最も簡単な整数の比で表しなさい。ただし、点Fを省いて表している。
解答 ： (BE : EC) = 7 : 18
解説 ： ECは細い方のリボンの幅なので3cm、AEは太い方のリボンの幅なので4cm。平行四辺形ABCDは、(2)で考えたように菱形になっている。よって、AB = BC。BE = x とすると、BC = x + 3 = AB。よって、△ABEで三平方の定理より、x^2 = (x+3)^2 – 4^2、x^2 = x^2 + 6x + 9 – 16、6x = 7、x = 7/6。よって、比は BE : EC = 7/6 : 3、7 : 18
